# Alejandro Pozo Pazos 
# Boletín 1 - Ejercicio 4
# Estimación covarianza entre U y Exp(U) con U=U(0,1). 
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# Con una única réplica.
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n<-1000000
U<-runif(n,0,1)
E_U<-sum(U)/n
E_ExpU<-sum(exp(U))/n
Cov<-sum((U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU))/n
err<-abs(Cov-(3-exp(1))/2)
show(list("covarianza"=Cov,"error"=err))

# Gráfica con el ajuste de (U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU) a la 
# función (x-1/2)*(exp(x)-exp(1)+1).
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n<-500
U<-runif(n,0,1)
E_U<-sum(U)/n
E_ExpU<-sum(exp(U))/n
Cov<-sum((U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU))/n
plot(0,0,xlim=c(0,1),ylim=c(0,1),pch=20,col="white",
	xlab="U",ylab="(U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU)")
points(U,(U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU),col="red",pch=20,cex=1.5)
curve((x-1/2)*(exp(x)-exp(1)+1),0,1,add=TRUE,lwd=2)

# Con varias réplicas.
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n<-10000
m<-1000
Cov<-numeric(m)
for (i in 1:m) {
	U<-runif(n,0,1)
	E_U<-sum(U)/n
	E_ExpU<-sum(exp(U))/n
	Cov[i]<-sum((U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU))/n
	}
err<-abs(mean(Cov)-(3-exp(1))/2)
show(list("covarianza"=mean(Cov),"error"=err))
summary(Cov)

# Gráfica con el ajuste de las distintas estimaciones de 
# de la covarianza a la covarianza exacta.
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n<-10000
m<-100
Cov<-numeric(m)
for (i in 1:m) {
	U<-runif(n,0,1)
	E_U<-sum(U)/n
	E_ExpU<-sum(exp(U))/n
	Cov[i]<-sum((U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU))/n
	}
plot(0,0,xlim=c(0,m),ylim=c(0,0.2),pch=20,col="white")
points(c(1:m),Cov,col="red",pch=20,cex=1.5)
curve((3-exp(1))/2+x*0,0,m,add=TRUE,lwd=2)

# Con una única réplica, usando un generador lineal.
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GenLin<-function(n,a,c,m,sem){
	z<-numeric(n)
	z[1]<-sem%%m
	for (i in 2:n) {
		z[i]<-(a*z[i-1]+c)%%m
	}
	newsem<-z[n]
	u<-z/m
	return(u)
}
n<-100000
U<-GenLin(n,a=16807,c=0,m=2^31-1,1)
E_U<-sum(U)/n
E_ExpU<-sum(exp(U))/n
Cov<-sum((U-E_U)*(exp(U)-E_ExpU))/n
err<-abs(Cov-(3-exp(1))/2)
show(list("covarianza"=Cov,"error"=err))