Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales

María Leyenda Rodríguez

Proyecto Fin de Máster Máster en Técnicas Estadísticas

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Presentación de los datos

Endesa Generación S.A. cuenta en el municipio de As Pontes de García Rodríguez, al noroeste de la provincia de A Coruña, con una importante Unidad de Producción Térmica (U.P.T. As Pontes)

Central Térmica. Ciclo Combinado.

Valores límite de dióxido de azufre (SO_{2}).

Valor límite horario  Valor límite diario  Nivel crítico
para la protección  para la protección  para la protección
de la salud humana  de la salud humana  de la vegetación
350 μg/m^{3}  125 μg/m^{3}  20 μg/m^{3}
No debe superase más No debe superarse más (del 1 de Octubre
de 24 veces/año de 3 veces/año al 31 de Marzo)

Valores límite de dióxido de nitrógeno (NO_{2}).

Valor límite horario  Valor límite anual  Nivel crítico
para la protección  para la protección  para la protección
de la salud humana de la salud humana  de la vegetación
200 μg/m^{3} 40 μg/m^{3} 30 μg/m^{3}
No debe superase  de NO_{x} expresado
más de 18 veces/año  en NO_{2}

Las Centrales tienen implantado un Sistema de Control Suplementario de la Contaminación Atmosférica.

Red de Vigilancia de la Calidad Atmosférica.

Es una red de 10 estaciones de medida automáticas, convenientemente situadas, que transmiten en continuo medidas de la evolución de la calidad del aire.

Estación Meteorológica de A Mourela. Sistema de Control de Emisiones de la Central Térmica y del Ciclo Combinado.

Sistema de Predicción Estadística de Inmisión (SIPEI). Predicciones de los valores de dióxido de azufre y de óxidos de nitrógeno, con media hora de antelación.

TIT Modelos De Predicción Medioambiental. María Piñeiro Lamas.

Predice cuál es el origen del episodio de alteración de calidad de aire

Este puede ser causado por la Central Térmica, el Ciclo Combinado u otros posibles focos como por ejemplo el tráfico o las actividades agrícolas de la zona. Esta última metodología se incorporó recientemente. PFM Modelos de Clasificación Estadística Basados en Indicadores de SO_{2} Y NO_{x} en la U.P.T. de As Pontes. Francisco Manuel Prieto Magdalena.

En este trabajo nos hemos propuesto analizar la dirección de viento medida en la estación meteorólogica A Mourela a 80 metros, considerando la naturaleza angular de la dirección de viento.

Análisis descriptivo direccional (ver Mardia y Jumpp, 2000). Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular haciendo un especial hincapié en la selección del parámetro de suavizado (ver Taylor, 2008; Hall, Watson y Cabrera, 1987). Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo (ver Hughes, 2007)

Por otra parte, nos interesa estudiar la relación entre las concentraciones de dióxido de azufre (SO_{2}) y la dirección de viento en cinco de las estaciones automáticas de medida.

Estimación no parámetrica tipo núcleo de la función de regresión circular lineal (ver Marzio, Panzera y Taylor, 2009). Para realizar esta estimación necesitamos que tanto los datos de SO_{2} y dirección de viento estén recogidos por la misma estación.

1 Análisis descriptivo de dirección de viento en A Mourela

2 Estimación de la función de densidad circular

Aplicación Medioambiental

3 Modelo de Möbius de series de tiempo

Aplicación Medioambiental

4 Estimación de la regresión circular-lineal

Aplicación Medioambiental

5 Conclusiones

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Análisis descriptivo de dirección de viento

1 Análisis descriptivo de dirección de viento en A Mourela

2 Estimación de la función de densidad circular

Aplicación Medioambiental

3 Modelo de Möbius de series de tiempo

Aplicación Medioambiental

4 Estimación de la regresión circular-lineal

Aplicación Medioambiental

5 Conclusiones

Comencemos con un análisis descriptivo de los datos de viento recogidos durante el año 2010 por la estación meteorológica A Mourela que situada en As Pontes.

Figura: Estación Meteorológica A Mourela

María Leyenda Rodríguez  Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales  10/65

Esta estación recoge datos minutales. Trabajaremos con las medias horarias reduciendo así la gran cantidad de datos y la dependencia. Hemos dividido el año 2010 en cuatro periodos de 2090 datos. Con el objetivo de que los resultados sean más fáciles de visualizar. Sólo mostraremos los gráficos del tercer periodo.

Notación Los valores 0, \frac{π}{2} , π, \frac{3π}{2} representan las direcciones Este, Norte, Oeste y Sur, respectivamente.

Medidas de localización y dispersión Cada punto x en el círculo unidad puede ser representado por un ángulo θ.

x = (cos θ, sen θ)

La dirección media θ̄ de θ_{1}, …, θ_{n} es la dirección de x_{1} + … + x_{n} que es el centro de masa x̄ de x_{1}, …, x_{n}. Si las coordenadas cartesianas de x_{j} son (cos θ_{j}, sen θ_{j}), entonces (C̄, S̄) son las coordenadas cartesianas del centro de masas.

C̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} cos θ_{j}; S̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} sen θ_{j}

Medidas de localización y dispersión

Además θ̄ es la solución de las siguientes ecuaciones

C̄ = R̄ cos θ̄
S̄ = R̄ sen θ̄

(supuesto R̄ > 0), dónde la longitud media resultante R̄ es dada por

R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}

Es la medida de dispersión más importante en datos direccionales.

n=2090  Media direccional, θ̄ Medida de dispersión, R̄
Primer periodo  5.3634  0.2177
Segundo periodo  0.6446  0.2850
Tercer periodo  0.2134  0.1750
Cuarto periodo  5.7374  0.2952

Tabla: Estudio de los datos de dirección de viento 2010 mediante una medida de localización (media direccional) y una medida de dispersión (R̄)

Figura: Gráfico de dispersión de las medias horarias de la dirección de viento correspondientes al tercer periodo de 2010.

Figura: Diagrama de rosa de las medias horarias de la dirección de viento.

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Estimación de la función de densidad circular

1 Análisis descriptivo de dirección de viento en A Mourela

2 Estimación de la función de densidad circular

Aplicación Medioambiental

3 Modelo de Möbius de series de tiempo

Aplicación Medioambiental

4 Estimación de la regresión circular-lineal

Aplicación Medioambiental

5 Conclusiones

En el caso lineal, si partimos de una muestra aleatoria simple X_{1}, …, X_{n}, el estimador natural de la probabilidad en cada uno de los intervalos [x_{m}, x_{m+1}), con x_{m} = x_{0} + hm, m ∈ ℤ, es el histograma

f̂_{n,H}(x) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} 𝕀 (X_{i} ∈ [x_{m}, x_{m+1}))

donde 𝕀 denota a la función indicadora.

Modificaremos esta estimación de manera que para cada punto x se construye un intervalo de la forma (x − h, x + h); lo que da lugar a otra estimación no paramétrica de la densidad denominada histograma móvil

f̂_{n,N}(x) = \frac{1}{nh} ∑_{i=1}^{n} ω (\frac{x − X_{i}}{h} )

donde ω es la densidad de la distribución uniforme en (-1, 1).

Si se reemplaza ω por una densidad K (denominada núcleo) con una única moda en cero y simétrica se obtiene el estimador tipo núcleo.

Estimador de Parzen-Rosemblat

f̂(x) = \frac{1}{nh} ∑_{i=1}^{n} K (\frac{x − X_{i}}{h} )

h es el parámetro de suavizado o ventana.

Usualmente se supone que la función núcleo es una función de masa de probabilidad simétrica, por ejemplo, la densidad Gausiana.

Función núcleo circular: Densidad von Mises

g(θ; μ, κ) = \frac{1}{2πI_{0}(κ)}e^{κ cos(θ−μ)}

I_{0} denota la función de Bessel modificada de primer tipo y orden 0

I_{0}(κ) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{κ cos θ}dθ.

El parámetro μ es la media de las direcciones. κ es el parámetro de concentración.

Figura: Representación de la función de densidad von Mises vM(0, κ), κ=0 (verde), κ=1 (azul), κ=2 (naranja), κ=4 (rojo).

Cuando usamos datos en el círculo, la distancia entre dos puntos en el círculo viene dada por

d_{i} = ||x − X_{i}||^{2} = 2(1 − x^{T} X_{i}) = 2(1 − cos(θ − Θ_{i})),

donde x^{T} = (cos θ, sen θ) y X_{i} = (cos Θ_{i}, sen Θ_{i})^{T}. El estimador de Parzen-Rosemblat permite una representación de la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular,

f̂(θ, ν) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} L_{ν} (1 − x^{T} X_{i}) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} L_{ν} (1 − cos(θ − Θ_{i}))

donde L_{ν} es una función núcleo circular.

Dada una muestra aleatoria de ángulos Θ_{1}, …, Θ_{n} ∈ [0, 2π],

Estimador no paramétrico tipo núcleo de la densidad circular

f̂(θ, ν) = \frac{1}{2nπI_{0}(ν)} ∑_{i=1}^{n} exp(ν cos(θ − Θ_{i}))

con función núcleo la función de densidad von Mises.

El parámetro de concentración ν ha asumido el papel de la inversa del parámetro de suavizado.

Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada Obtendremos las funciones de validación cruzada para minimizar la función pérdida dada por el error cuadrático medio, L_{2}, y la dada por Kullback-Leibler. Ambas dadas por Hall, Watson y Cabrera, (1987).

L_{2}(ν) = ∫_{0}^{2π} 𝔼 (f̂(θ, ν) − f(θ))^{2} dθ.
L_{KL}(ν) = ∫_{0}^{2π} f(θ)𝔼 [log {f(θ)/f̂(θ, ν)}] dθ.

Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada; L_{2} El parámetro de suavizado obtenido mediante el método de validación cruzada para minimizar la función de pérdida L_{2} viene dado por

v̂_{2} = arg mín_{ν≥0} ĈV_{2}(ν)

donde, ĈV_{2}(ν) = ∫_{0}^{2π} f̂^{2}(θ, ν)dθ − 2n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(Θ_{i}, ν),

siendo f̂_{i}(·) la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad construída dejando fuera el valor Θ_{i} de la muestra

f̂_{i}(θ, ν) = \frac{1}{2nπI_{0}(ν)} ∑_{j≠i} exp (ν cos(θ − Θ_{j})) .

Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada; Kullback-Leibler El parámetro de suavizado obtenido mediante el método de validación cruzada para minimizar la función de Kullback-Leibler viene dado por

v̂_{KL} = arg mín_{ν≥0} −ĈV_{KL}(ν),

siendo

ĈV_{KL}(ν) = n^{−1} ∑_{i=1}^{n} log {f̂_{i}(Θ_{i}, ν)}

Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Taylor obtuvo la expresión del Error Cuadrático Medio Integrado Asintótico (AMISE) Bajo la hipótesis de que la distribución von Mises con parámetro de concentración κ es la que genera los datos.

AMISE(ν) = 3κ^{2}I_{2}(2κ)/ {32πν^{2}I_{0}(κ)^{2}} + ν^{1/2}/ (2nπ^{1/2})

donde I_{2} denota la función de Bessel de primer tipo de orden 2

El parámetro de suavizado ν se puede obtener minimizando el AMISE y utilizando en la estimación de κ, mediante máxima verosimilitud (ver Taylor, 2008):

ν̂ = [3nκ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(κ̂)^{2}}^{−1}]^{2/5}.

Ejemplo

Supongamos que la muestra de tamaño 1000 está generada por una mixtura de von Mises de parámetros μ_{1} = π/2, κ_{1} = 7, μ_{2} = 3π/2 y κ_{2} = 7 con ρ = 0,5.

La estimación tipo núcleo seleccionando el parámetro de suavizado mediante validación cruzada puede ser inconsistente bajo una variedad de circunstancias.

para datos discretos con múltiples valores repetidos

validación cruzada tiende a sugerir parámetros de suavizado que suavizan muy poco, es decir, ν tiende a ser muy grande.

Perturbación Caso Circular: Garcia-Portugués et al. (2011)

θ̃_{i} = θ_{i} + dϵ_{i}, ϵ_{i} ∼ vM(0, 1)
d = n^{−1/5}

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales

Estimación de la función de densidad circular Aplicación Medioambiental

Datos originales Media direccional, θ̄ Medida de dispersión, R̄
Primer periodo  5.3727  0.2253
Segundo periodo  0.6239  0.2914
Tercer periodo  0.2315  0.1840
Cuarto periodo  5.1451  0.3038

Datos perturbados Media direccional, θ̄ Medida de dispersión, R̄
Primer periodo  5.3634  0.2177
Segundo periodo  0.6446  0.2850
Tercer periodo  0.2134  0.1750
Cuarto periodo  5.7374  0.2952

plug-in L_{2} Kullback-Leibler
Tercer periodo 2.35 235.67  204.92

Tabla: Estimaciones del parámetro de suavizado para la estimación no paramétrica tipo núcleo de la función de densidad circular (sin perturbar).

plug-in L_{2} Kullback-Leibler
Tercer periodo 2.17 41.44  36.17

Tabla: Estimaciones del parámetro de suavizado para la estimación no paramétrica tipo núcleo de la función de densidad circular (perturbando).

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Modelo de Möbius de series de tiempo

1 Análisis descriptivo de dirección de viento en A Mourela

2 Estimación de la función de densidad circular

Aplicación Medioambiental

3 Modelo de Möbius de series de tiempo

Aplicación Medioambiental

4 Estimación de la regresión circular-lineal

Aplicación Medioambiental

5 Conclusiones

Estudio de la dependencia en los datos de dirección de viento Coeficiente de autocorrelación basado en la estimación de la correlación circular entre dos variables aleatorias Θ, Φ introducido por Fisher y Lee (1983).

ρ_{T} = E [sen(Θ_{1} − Θ_{2}) sen(Φ_{1} − Φ_{2})] ; {E [sen^{2}(Θ_{1} − Θ_{2})] E [sen^{2}(Φ_{1} − Φ_{2})]}^{1/2} .

donde (Θ_{1}, Φ_{1}) y (Θ_{2}, Φ_{2}) son independientes e identicamente distribuídas como (Θ, Φ).

Estudio de la dependencia en los datos de dirección de viento

Calcularemos la autocorrelación circular k-lag ρ̂_{T}^{k} como

ρ̂_{T}^{k} = \frac{∑_{1≤i<j≤n−k} sen(θ_{i} − θ_{j}) sen(θ_{i+k} − θ_{j+k})}{[∑_{1≤i<j≤n−k} sen^{2}(θ_{i} − θ_{j}) ∑_{1≤i<j≤n−k} sen^{2}(θ_{i+k} − θ_{j+k})]^{1/2}} .

Por tanto, si representamos ρ̂_{T}^{k} frente a k obtendremos la autocorrelación circular para los distintos periodos. Estudiaremos el tercer periodo.

Figura: Autocorrelaciones circulares de las medias horarias de la dirección de viento correspondientes al tercer periodo de 2010.

La componente determinística del modelo de regresión estudiado por Downs y Mardia (2002) une a la variable angular dependiente v con la variable angular independiente u mediante

tan \frac{1}{2}(v − β) = ω tan \frac{1}{2}(u − α)

ω ∈ [−1, 1] es el parámetro pendiente. −π ≤ α, β < π son los parámetros angulares de localización. Definimos una relación uno a uno entre u y v,siempre que ω ≠ 0 de la siguiente forma

v = β + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(u − α)\}

Reemplazamos el ángulo v por θ_{t} y el ángulo u por θ_{t−1}, t = 2, …, n. Esta sustitución sugiere un único parámetro de localización, α = β

v = β + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(u − α)\}

θ_{t} = α + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\} = μ_{t}

Modelo de Möbius de series de tiempo

\begin{matrix}θ_{t} = μ_{t} + ϵ_{t} \\ donde ϵ_{t} ∼ vM(0, κ) \end{matrix}

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud Estimamos los parámetros α y ω mediante máxima verosimiltud; es decir, maximizando la función

l(α, ω) = ∑_{t=2}^{n} cos [θ_{t} − α − 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}]

La maximización la haremos usando la función nlm de R. Esta función utiliza un algoritmo tipo Newton para minimizar una función dada. Por tanto hemos minimizado la función −l_{C}(α, ω).

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

Una vez que l_{C}(α, ω) ha sido máximizada con respecto a α y ω, se obtiene una estimación de κ maximizando

l_{C}(α̂, ω̂, κ) = const. − (n − 1) log I_{0}(κ) + κl (α̂, ω̂)

respecto de κ.

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Modelo de Möbius de series de tiempo Aplicación Medioambiental

α̂  ω̂  κ̂
Primer periodo -0.7492 0.9634 4.12
Segundo periodo 0.5133 0.9296 4.09
Tercer periodo -0.1431 0.9644 4.11
Cuarto periodo -1.3190 0.9382 4.11

Tabla: Estimaciones de los parámetros que están involucrados en la obtención del modelo de Möbius de series de tiempo Figura: Modelo de Möbius de series de tiempo de las medias horarias de la dirección de viento correspondientes al tercer periodo de 2010.

El modelo de series de tiempo obtenido en cada uno de los periodos parece que modela bien nuestros datos de dirección de viento. Calculamos el error cuadrático medio mediante la distancia longitud de arco, que viene dado por

\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} d(θ_{i}, θ̂_{i})^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}(π − |π − |θ_{i} − θ̂_{i}||)^{2},

θ_{i}, i = 1, …, n corresponden a las medias horarias de la dirección de viento del periodo correspondiente. θ̂_{i}, i = 1, …, n corresponden a las estimaciones dadas por modelo de Möbius de series de tiempo de las medias horarias de la dirección de viento del periodo correspondiente. d es la distancia entre dos ángulos definida por la longitud de arco.

Se obtiene que las desviaciones estandar de las predicciones con respecto a las observaciones está alrededor de \sqrt{0,25} radianes, o lo que es lo mismo a 0.5 radianes.

Consideración

Sea Θ_{i} ∼ U_{[0,2π)}, i = 1, …, n (observado)
Sea θ̂_{i} = π, i = 1, …, n (esperado)

\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} d(θ_{i}, θ̂_{i})^{2} →^{∼} V ar(Θ) = \frac{(2π − 0)^{2}}{12} = \frac{4π^{2}}{12}

\sqrt{\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} d(θ_{i}, θ̂_{i})^{2}} →^{∼} \frac{π}{\sqrt{3}} = 1.814

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Estimación de la regresión circular-lineal

1 Análisis descriptivo de dirección de viento en A Mourela

2 Estimación de la función de densidad circular

Aplicación Medioambiental

3 Modelo de Möbius de series de tiempo

Aplicación Medioambiental

4 Estimación de la regresión circular-lineal

Aplicación Medioambiental

5 Conclusiones

Dadas n observaciones de una variable direccional explicativa Θ_{1}, …, Θ_{n} y una variable respuesta lineal Y_{1}, …, Y_{n}. Suponemos que Y_{i} = m(Θ_{i}) + ϵ_{i}, donde ϵ_{i} son variables con media cero, independientes e identicamente distribuídas.

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal

m̂(θ; ν) = \frac{∑_{i=1}^{n} Y_{i}g(θ − Θ_{i}, 0, ν)}{∑_{i=1}^{n} g(θ − Θ_{i}, 0, ν)}

donde g denota la función de densidad von Mises.

Este estimador es análogo al estimador propuesto por Nadaraya-Watson en 1964 para el caso lineal.

Datos lineales. Núcleo Gausiano Silverman recomienda un parámetro de suavizado de 0,9σ̂n^{1/5}. Scott h_{s} = 1,06σ̂n^{1/5} . σ̂ es dado por el mínimo de la desviación típica muestral x_{1}, …, x_{n} y el rango intercuartílico dividido por 1.34.

Densidad von Mises & Densidad Gausiana Si κ es grande, sea θ ∼ vM(μ, κ) y sea ξ = κ^{1/2}(θ − μ).

θ ∼ vM(μ, κ) ⇒ κ^{1/2}(θ − μ) ∼ N(0, 1), κ → ∞.

Selección del parámetro de suavizado. Plug-in

ν̂ = \frac{1}{h_{s}^{2}}

Selección del parámetro de suavizado. Validación Cruzada Como en el caso lineal, escogemos ν de modo que minimize a la función

CV (ν) = n^{−1} ∑_{j=1}^{n}[y_{j} − m̂^{−j}(θ_{j}; ν)]^{2}

donde son las estimaciones sin el dato j-ésimo

m̂^{−j}(θ_{j}; ν) = \frac{∑_{i≠j}^{n} y_{i}g(θ_{j} − θ_{i}, 0, ν)}{∑_{i≠j}^{n} g(θ_{j} − θ_{i}, 0, ν)}

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Estimación de la regresión circular-lineal Aplicación Medioambiental

Se ha realizado la estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal

de las medias horarias transformadas mediante la función logaritmo de las concentraciones de SO_{2} frente a las direcciones horarias de viento.

En cinco de las estaciones de medición automática, B1, B2, C9, F2 y G2.

Figura: Estaciones de medida automáticas

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Al analizar los datos obtenidos en las estaciones se observó que también había valores repetidos en las concentraciones de SO_{2}. Perturbación Caso Lineal: Azzalini (1981) propone una perturbación que permite una estimación consistente de la función de distribución

X̃_{i} = X_{i} + bϵ_{i}, ϵ_{i} ∼ Epanech(−\sqrt{5}, \sqrt{5})
b = 1,03σ̂n^{−1/3}

B1  B2  C9  F2  G2
Primer periodo 3.33 2.87 30.28 37.69 26.42
Segundo periodo 13.07 8.83 7.07 10.73 20.13
Tercer periodo 6.61 25.56 2.33 11.97 18.43
Cuarto periodo 0.00 22.63 4.87 11.24 17.74

Tabla: Estimaciones del parámetro de suavizado obtenidas mediante validación cruzada.

B1  B2  C9  F2  G2
Primer periodo 592.52  1.04 16.48 1329.96 0.76
Segundo periodo 28.55108 108.28 7.32  0.50 71.05
Tercer periodo 44.07 331.62 7.15 0.51 83.39
Cuarto periodo 48020.99 1.21 11.38 0.51  0.72

Tabla: Estimaciones del parámetro de suavizado obtenidas mediante la expresión κ = 1/h_{s}^{2}.

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Conclusiones

1 Análisis descriptivo de dirección de viento en A Mourela

2 Estimación de la función de densidad circular

Aplicación Medioambiental

3 Modelo de Möbius de series de tiempo

Aplicación Medioambiental

4 Estimación de la regresión circular-lineal

Aplicación Medioambiental

5 Conclusiones

Las estimaciones no paramétricas tipo núcleo de la densidad circular seleccionando el parámetro de suavizado mediante el método de validación cruzada se comportan mejor que si lo hacemos mediante plug-in. Las estimaciones no paramétricas tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal seleccionando el parámetro de suavizado mediante el método de validación cruzada, también se comportan mejor que al escogerlo mediante plug-in. El ajuste proporcionado por el modelo de Möbius de series de tiempo parece razonable.

Análisis Estadístico de Datos Direccionales. Aplicaciones Medioambientales Bibliografía

Panzera A. Di Marzio, M. and C.C. Taylor. Local polynomial regression for circular predictors. Statistics and Probability Letters, 79:2066–2075, 2009.

T. D. Downs and K. V. Mardia. Circular regression. Biometrika, 89:683–698, 2002.

Watson G.S. Hall, P. and J. Cabrera. Kernel density estimation whith spherical data. Biometrika, 74:751–762, 1987.

G. Hughes. Multivariate and Times Series Models for Circular Data with Applications to Protein Conformational Angles. PhD thesis, The University of Leeds, Department of Statistics., 2007.

K.V. Mardia and P.E Jupp. Directional Statistics. Wiley; New York, 2000.

C.C. Taylor. Automatic bandwith selection for circular density estimation. Computational Statistics and Data Analysis, 52:3493–3500, 2008.