Análisis Estadístico de Datos

Direccionales.

Aplicaciones Medioambientales

Proyecto Fin de Máster Máster en Técnicas Estadísticas

María Leyenda Rodríguez

Resumen

En diversos campos surgen problemas estadísticos dónde los datos son dados mediante medidas angulares dando la orientación o angulos en el plano (datos circulares) o en el espacio (datos esféricos). Datos circulares es el caso más simple de esta categoría de datos llamada datos direccionales, dónde la única respuesta no es escalar, pero es angular o direccional. La suposición estadística básica es que los datos son una muestra aleatoria de una población de diecciones. Para trabajar con datos de esta naturaleza es necesario construir nuevos estadísticos pues los estadísticos usuales empleados para datos lineales son inapropiados en los datos direccionales, pues no tienen en cuenta la naturaleza circular de los datos direccionales.

En este trabajo vamos a analizar la dirección de viento recogida por la estación meteorológica A Mourela que pertenece a un Sistema de Control Suplementario de la Contaminación Atmosférica de la U.P.T. de As Pontes propiedad de Endesa Generación S.A. Debido a la naturaleza circular de esta variable comenzaremos describiendo los datos circulares segun([9]). A continuación, nos adentraremos en el campo de la estimación de curvas que al igual que en el caso lineal es de gran importancia. Comenzaremos con la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular haciendo un especial hincapié en la selección del parámetro de suavizado. Notemos que estos datos de dirección de viento son minutales y recogidos a lo largo del año 2010 lo que nos llevó a estudiar el modelo de Möebius de series de tiempo.

Debido al interés por estudiar la relación entre las concentraciones de SO_{2} y la dirección de viento realizaremos la estimación no paramétrica tipo núcleo de la función de regresión dónde la selección del parámetro de suavizado también es de vital importancia. Notemos que para este apartado se va a trabajar con la dirección de viento recogida en las estaciones de medida automáticas B1, B2, C9, F2 Y G2 las cuales pertetenecen a la Red de Vigilancia y Control de la Calidad Atmosférica que forma parte del Sistema de Control Suplementario de la Contaminación Atmosférica U.P.T de As Pontes; pues para realizar la estimación de la función de regresión necesitamos que tanto los datos de SO_{2} y dirección de viento estén recogidos por la misma estación.

Contenidos

Resumen  1
1 Introducción  1
1.1 Medidas de localización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Medidas de concentración y dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Distribuciones notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Distribución lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Distribución uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Distribución von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Distribución Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Distribución Normal proyectada . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.6 Distribución Wrapped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Función de densidad circular  13
2.1 Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular … 13
2.2 Selección del parámetro de suavizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Regla plug-in escala von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Validación cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Ilustración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Función de regresión circular-lineal  17
3.1 Estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal 17
3.2 Selección del parámetro de suavizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 El modelo de Möbius de series de tiempo  19
4.1 El modelo Möbius de series de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Función de máxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Aplicación. Datos de meteorología e inmisión  23
5.1 Datos perturbados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela . . . . . . 25

5.3 Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular . . . . . . 30
5.4 Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo . . . . . . . . 41
5.5 Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal . . 49
5.5.1 Estación B1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5.2 Estación B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5.3 Estación C9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.4 Estación F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.5 Estación G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliografía  61

Capítulo 1

Introducción

Los datos circulares surgen de varias formas. Las dos principales ccorresponden a los principales instrumentos de medición circular, la brújula y el reloj. Entre las típicas observaciones medidas por la brújula están las direcciones de viento y las direcciones migratorias de los pájaros. Entre las típicas mediadas por el reloj están los tiempos de llegada (en un reloj de 24 horas) de los pacientes a una unidad de urgencias de un hospital. Conjuntos de datos similares surgen al considerar veces en una año (o veces en un mes) de los eventos correspondientes.

Las direcciones en el plano se pueden observar como vectores unitarios en el plano como puntos en el círculo unidad. Aunque hay otras dos formas muy útiles de observar las direcciones- como ángulos y como números complejos; escogiendo una direccción y orientación inicial (Esto es equivalente a escoger un sistema de cooredenadas ortogonal en el plano). Luego cada punto x en el círculo unidad puede ser representado por un ángulo θ o por un número complejo unitario z.

x = (cos θ, senθ)
z = e^{iθ} = cos θ + isenθ

En este capítulo, presentaremos la descriptiva de los datos circulares siguiendo ([9]). Comenzaremos por estudiar las medidas de localización, concentración y dispersión, secciones 1.1, 1.2., y finalmente nos centraremos en las principales distribuciones circulares, sección 1.3.

1.1 Medidas de localización

Sean x_{1}, …, x_{n} cuyos ángulos correspondientes son θ_{i}, i = 1, …, n. La dirección media θ̄ de θ_{1}, …, θ_{n} es la dirección de x_{1} + … + x_{n} que es el centro de masa x̄ de x_{1}, …, x_{n}.

Por tanto si las coordenadas cartesianas de x_{j} son (cos θ_{j}, senθ_{j}), entonces (C̄, S̄) son las coordenadas cartesianas del centro de masas.

C̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} cos θ_{j}; S̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} senθ_{j}

Además θ̄ es la solución de las ecuaciones (1.1,1.2) y es la dirección de x_{1} +…+x_{n}, denominada, dirección media

C̄ = R̄cosθ̄  (1.1)
S̄ = R̄senθ̄  (1.2)

(supuesto R̄ > 0), dónde la longitud media resultante R̄ es dada por

R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}  (1.3)

Notemos que θ̄ no está definida cuando R̄ = 0 y cuando R̄ > 0, θ̄ es dada por

θ̄ = \{ \begin{matrix}tan^{−1}(S̄/C̄) & si & C̄ ≥ 0 \\ tan^{−1}(S̄/C̄) + π & si & C̄ < 0 \end{matrix}

En el contexto de estadística circular θ̄ no es la media (θ_{1} + … + θ_{n})/n. Sin embargo, la denominamos media muestral de la dirección y cumple las siguientes propiedades

• es equivariante bajo rotación.

• Diferentes estadísticos utilizando diferentes sistemas de coordenadas estarán de acuerdo en dónde está la media la muestral, a pesar de que puede usar números diferentes para describir su posición

Por otra, la mediana muestral de la dirección θ̄ de los ángulos (θ_{1}, …, θ_{n}) es algún ángulo ϕ tal que la mitad de los puntos se encuentran en el arco [ϕ, ϕ + π) y la mayoría de los puntos están más cerca de ϕ que de ϕ + π.

• Cuando n es par, la mediana coincide con uno de ellos.

• Cuando n es impar, es conveniente tomar la mediana como el punto medio de dos puntos adyacentes adecuados.

1.2 Medidas de concentración y dispersión

La media de longitud resultante R̄ introducida en (1.3) como longitud del centro de masas del vector x̄ es dada porR̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}. Es la medida de dispersión más importante en datos direccionales. Luego, si x_{1}, …, x_{n} son vectores unitarios, entonces 0 ≤ R̄ ≤ 1. Por tanto, podemos concluir que

• Si las direcciones θ_{1}, …, θ_{n} están estrechamente agrupadas luego R̄ = 1.

• Si θ_{1}, …, θ_{n} están muy dispersas luego R̄ será prácticamente 0.

Además esta medida de concentración tiene las siguientes propiedades

• R̄ es invariante bajo rotaciones.

• La longitud resultante R̄ es la longitud del vector resultante x_{1} + … + x_{n}.

• R = nR̄

A veces emplearemos otras medidas de dispersión de datos circulares, para comparar con datos en línea: la medida más simple es la varianza circular muestral,

V = 1 − R̄

o la desviación circular estándard,

v = \sqrt{−2logR̄}  (1.4)

También podemos considerar como medida de dispersión la distancia entre dos ángulos θ y ξ

min(θ − ξ, 2π − (θ − ξ)) = π − |π − |θ − ξ||

o definir la medida de dispersión de los ángulos θ_{1}, …, θ_{n} sobre un ángulo dado α es

d_{0}(α) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}(π − |π − |θ_{i} − α||)

la función d_{0} toma el mínimo en la mediana muestral θ̃. La desviación circular media es d_{0}(θ̃)

1.3 Distribuciones notables

Una forma de especificar una distribución en el círculo unidad es por medio de su función de distribución. Suponemos que ha sido escogida una dirección y orientación inicial en el círculo unidad. Luego la distribución puede ser considerada como que los ángulos aleatorios θ, y su función de distribución F es definida como la función en la recta real dada por

F (x) = P r(0 < θ ≤ x), 0 ≤ x ≤ 2 ∗ π

y

F (x + 2π) − F (x) = 1, −∞ < x < ∞  (1.5)

La ecuación (1.5) solo afirma que todo arco en el círculo unidad de longitud 2π tiene probabilidad uno (este arco es la totalidad de la circumferencia en el círculo). Para α ≤ β ≤ α + 2π,

P r(α < θ ≤ β) = F (β) − F (α) = ∫_{α}^{β} dF (x)  (1.6)

dónde la integral es una integral de Lebesgue-Stieltjes. La función de distribución F es contínua por la derecha. En contraste con las distribuciones en la recta real,

lim_{x→∞}F (x) = ∞ lim_{x→−∞}F (x) = −∞

Por definición

F (0) = 0 F (2π) = 1

Notemos que aunque la función F dependa de la elección de la elección inicial, (1.6) muestra que F (β) − F (α) es independiente de esta elección. por tanto cambiar la dirección inicial es simplemente añadir una constante a F. Si la función de distribución F es absolutamente contínua tiene como función de densidad a f tal que

∫_{α}^{β} f(x)dx = F (β) − F (α), −∞ < α ≤ β < ∞

Una distribución circular es una distribución de probabilidad la cual está concentrada en la circunferencia de círculo unidad. Las distribuciones circulares son de dos tipos:

1. Discretas- asignan masas de probabilidad solo a un número de direcciones

2. Absolutamente contínuas

Una función f es la función de densidad de una distribución absolutamente contínua si y solo si

1. f(θ) ≥ 0 en casi todo (−∞, ∞)

2. ∫_{0}^{2π} f(θ)dθ = 1

3. f(θ) = f(θ + 2π) en casi todo (−∞, ∞)

1.3.1 Distribución lattice

La distribución lattice (1.7) es una distribución discreta que toma valores en los vértices de un polígono de m lados inscrito en el círculo unidad,\frac{2πr}{m}. Si los pesos (1.8) son p_{r} = \frac{1}{m}, entonces se le denomina distribución uniforme discretizada en m puntos.

P r(θ = v + \frac{2πr}{m}) = p_{r} r = 0, 1, ⋯, m − 1  (1.7)
p_{r} ≥ 0, ∑_{r=0}^{m−1} p_{r} = 1  (1.8)

1.3.2 Distribución uniforme

Es la distribución más básica en el círculo y a menudo es usada como modelo nulo. Esta es la única distribución en el círculo la cual es invariante bajo rotación y reflexión. Su función de densidad es

f(θ) = \frac{1}{2π}

Por tanto, para α ≤ β ≤ α + 2π,

P r(α < θ ≤ β) = \frac{β − α}{2π}

es decir, es proporcional a la longitud del arco.

1.3.3 Distribución von Mises

Desde el punto de la inferencia estadística, la distribución von Mises (1.9) es la más mejor distribución en el círculo. Pues esta es unimodal y es simétrica sobre θ = μ (Figura 1.1). Además la moda se encuentra en θ = μ y la antimoda en θ = μ + π. La relación de la moda de la densidad y la antimoda viene dada por e^{2κ}, así que cuanto mayor sea el valor de κ, mayor es el agrupamiento acerca de la moda.

g(θ; μ, κ) = \frac{1}{2πI_{0}(κ)}e^{κcos(θ−μ)}  (1.9)

F (θ; 0, κ) = \frac{1}{I_{0}(κ)} ∫_{0}^{θ} e^{κcosu}du

• I_{0} denota la función de Bessel modificada de primer tipo y orden 0,

I_{0}(κ) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{κcosθ}dθ, I_{0}(κ) = ∑_{r=0}^{∞} \frac{1}{(r!)^{2}} (\frac{κ}{2})^{2r}

• El parámetro μ es la media de las direcciones

• κ es el parámetro de concentración. En (Figura 1.1) se observa que cuanto más grande sea el parámetro de concentración su función de densidad von Mises estará más concentrada en su media circular.

Figura 1.1: Representación de la función de densidad de Distribución von Mises vM(0,κ), κ=0.5,1,2,3,4.

Como el parámetro κ es una medida de concentración en el caso de que nuestra muestra siga una von Mises; nos hemos planteado explicar explicar la relación entre diferentes medidas de dispersión como son la media de longitud resultante (1.3), la desviación circular estándard (1.4), la varianza definida de forma análoga que en el caso lineal(1.10) y el parámetro de concentración de la distribución von Mises κ ante una muestra que siga una distribución von Mises. Para ello,

1. Generamos una muestra vMπ, κ) de tamaño 3000 para distintos valores del párametro κ (75 valores).

2. Para cada una de las muestras calculamos

• La varianza (1.10) con respecto a la distancia euclídea (1.11) y a la distancia definida por la longitud de arco(1.12),

S_{n}^{2}(θ) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} d^{2}(θ_{i}, θ)  (1.10)
θ = min_{y}S_{n}^{2}(y)
d^{2}(θ_{i}, θj) = 2(1 − (cos(θ_{i} − θ_{j})))  (1.11)
d^{2}(θ_{i}, θj) = π − |π − |θ_{i} − θ_{j}||  (1.12)

• el parámetro de concentración R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}} y

• la desviación circular estándard \sqrt{−2log(R̄)}.

3. Representamos el estimador local-lineal para estudiar las relaciones de estas medidas de concentración y dispersión, frente a diferentes valores de κ.

Figura 1.2: Relación entreR̄,v,S_{n}^{2} y κ

Mediante este estudio (Figura 1.2) se puede observar que v, S_{n}^{2} (obtenida mediante cualquiera de las distancias) se comportan de forma similar. De modo que disminuye casi de modo exponencial a medida que κ aumenta. Mientras que R̄ se comporta de modo diferente; aumenta a medida que κ aumenta pero se presenta una asíntota en 1.

La distribución von Mises juega un papel cruciial en el campo de los datos direccionales de hecho, juega el mismo papel que la distribución gausiana en los datos lineales. Debido a esto nos va a interesar aproximar, relacionar la distribución von Mises con otras distribuciones. Así pues,

• Si κ = 0, entonces vMμ, κ) es la distribución uniforme. La aproximación exp(x) ≅ 1 + x, muestra que para κ pequeños vMμ, κ) ≅ C(μ, κ/2), dónde C(μ, κ/2) denota una distribución Cardioide. Por tanto, una distribución von Mises con parámetro de concentración pequeño puede ser aproximado por una distribución Cardioide con la misma dirección media y media de longitud resultante.

• Cuando κ → ∞ la distribución vMμ,κ) está concentrada en el punto θ = μ. Si κ es grande, ξ = κ^{1/2}(θ − μ). Luego, la función de densidad(1.9) de ξ es proporcional a

exp−κ[1 − cos(κ^{−1/2}ξ)]  (1.13)

Para κ grande,

1 − cos(κ^{−1/2} ∗ ξ) = \frac{1}{2}κ^{−1}ξ^{2} + O(κ^{−2})

así pues, de (1.13), ξ ∼ N(0, 1). Luego para grades valores de κ,

θ ∼ vMμ, κ) ⇒ κ^{−1/2}(θ − μ) ∼ N(0, 1), κ → ∞  (1.14)

• De foma más general, cualquier von Mises puede ser aproximada por una distribución normal wrapped.

vMμ, κ) ≅ W N(μ, A(κ)), κ → ∞
A_{κ} = I_{1}(κ)/I_{0}(κ)

Respecto a la convolución, notemos que la convolución de dos von Mises no es una distribución von Mises. En cambio, la convolución de dos distribuciones normal wrapped, W N(μ_{1}, A(κ_{1})) y W N(μ_{2}, A(κ_{2})) es la distribución wrapped normal W N(μ_{1} + μ_{2}, A(κ_{1})A(κ_{2})). La cual puede ser aproximada porvMμ_{1} + μ_{2}, A^{−1}(A(κ_{1})A(κ_{2})))

θ_{1} + θ_{2} ∼ vMμ_{1} + μ_{2}, A^{−1}(A(κ_{1})A(κ_{2})))

1.3.4 Distribución Cardioide

La perturbación de la densidad uniforme por la función coseno da lugar a una distribución Cardioide C(μ, ρ), cuya función de densidad es,

f(θ) = \frac{1}{2π} (1 + 2ρcos(θ − μ)) |ρ| < \frac{1}{2}

• La media de longitud resultante es ρ

• La media de la dirección es μ

• La distribución es simétrica y unimodal en μ (si ρ > 0) (Figura 1.3).

• Si ρ = 0 la distribución se reduce a la distribución uniforme (Figura 1.3).

• El principal uso de estas distribuciones es como aproximaciones de poca concentración a las distribuciones von Mises

θ_{i} ∼ C(μ_{i}, ρ_{i})(i = 1, 2) ⇒ θ_{1} + θ_{2} ∼ C(μ_{1} + μ_{2}, ρ_{2}ρ_{2})

Notemos que el conjunto de distribuciones Cardioides es cerrado bajo convolución.

1.3.5 Distribución Normal proyectada

Las distribuciones en el círculo pueden ser obtenidas mediante proyección radial de la distribución en el plano. Sea x un vector aleatorio bidimensional, Pr(x=0)=0. Luego ||x||^{−1}x es un punto aleatorio sobre el círculo unidad.

p(θ; μ, ∑) =

\frac{ϕ(θ; 0, ∑) + | ∑ |^{−1/2}D(θ)ϕ(D(θ))ϕ(| ∑ |^{−1/2}(x^{T} ∑^{−1} x)^{−1/2}μ ∧ x)}{x^{T} ∑^{−1} x}

ϕ(·; 0, ∑) denota la función de densidad de N_{2}(0, ∑), ϕ y Φ denotan la función densidad y la función de densidad acumulada de N(0,1), x = (cosθ, senθ)^{T}

D(θ) = \frac{μ^{T} ∑^{−1} x}{(x^{T} ∑^{−1} x)^{1/2}}

μ ∧ x = μ_{1}senθ − μ_{2}cosθ μ = (μ_{1}, μ_{2})^{T} Figura 1.3: Representación de distribuciones cardiodes C(0,ρ), ρ=(0.1,0.2,0.3,0.4,0.5)

1.3.6 Distribución Wrapped

Dada una distribución en la línea, se puede envolver alrededor de la circunferencia del círculo de radio uno. Si x es una variable aleatoria en la línea, la variable aleatoria correspondiente x_{w} de la distribución wrapped viene dada por

x_{w} = x(mod2π)

Si el círculo es identificado con el conjunto de números complejos de módulo la unidad luego el mapa wraping x → x_{w} pueden ser escrito como

x → e^{2πix}

Si x tiene como función de distribución F ⇒ la función de distribución F_{w} de x_{w} viene dada por

F_{w}(θ) = ∑_{κ=−∞}^{∞} {F (θ + 2πκ) − F (2πκ)}

Si x tiene como función de masa de probilidad f ⇒ la función de densidad f_{w} de x_{w} es

f_{w}(θ) = ∑_{κ=−∞}^{∞} f(θ + 2πκ)

Las distribuciones Wrapped tienen las siguientes propiedades:

1. (x + y)_{w} = x_{w} + y_{w} 2. Si la función característica de x es ϕ entonces la función característica {ϕ_{p} : p = 0, ±1, …}

de x_{w} es dada por ϕ_{p} = ϕ(p)

3. Si ϕ es integrable entonces x tiene función una densidad y

f_{w}(θ) = ∑_{κ=−∞}^{∞} f(θ + 2πκ) = \frac{1}{2π} [1 + 2 ∑_{p=1}^{∞}(α_{p}cospθ + β_{p}senpθ)]

Φ(p) = α_{p} + iβ_{p}

4. Si x es infinitamente divisible luego x_{w} es infinitamente divisible.

Hay muchas distribuciones lineales las cuales pueden ser envueltas en cualquier distribución dada en el círculo. Sea g la función de densidad de una distribución en el círculo y define una función de densidad en la línea por

f(x) = p_{r}g(x)
2πr < x ≤ 2π(r + 1) r = 0, ±1, ±2, …,

p_{r} son números no negativos tales que, ∑_{r=−∞}^{∞} p_{r} = 1. Luego, f_{w} = g.

Función de densidad circular

En este capítulo, descibiremos una estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular, sección 2.1. Al igual que en el caso lineal, la selección del parámetro de suavizado será crucial. Se estudiarán tres métodos de selección uno usando técnica plug-in y dos mediante validación cruzada que surgen de minimizar la función de pérdidida dada por minimizar el error cuadrártico medio (L2) o minimizar la función de pérdida dada por Kullback-Leibler.

2.1 Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular

En el caso elemental de la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad univariante f(x) usuando observaciones con valores reales x_{1}, …, x_{n}, con núcleo K viene dada por el estimador de Parzen-Rosemblat

f̂(x) = \frac{1}{nh} ∑ K (\frac{x − x_{i}}{h} )

dónde

• h es el parámetro de suavizado o ventana.

• Usualmente se supone que la función núcleo es una función de masa de probabilidad simétrica, por ejemplo, la densidad Gausiana.

• La etimación de la densidad tipo núcleo se extiende facilmente a datos circulares, aunque se debe tener cuidado en la selección de la función núcleo.

Sin embargo, cuando usamos datos en el círculo, no podemos emplear la distancia en el espacio Euclídeo, así que las diferencias θ−θ_{i} serán remplazadas por el ángulo dado por la diferencia entre dos vectores,

d_{i} = ||θ − θ_{i}|| = min(|θ − θ_{i}|, 2π − |θ − θ_{i}|)

Esto también puede escribirse como d_{i} = cos^{−1}(x^{T} x_{i}), dónde x^{T} = (cosθ, senθ) es un vector unitario. Una elección natural de la función núcleo es usar una función de densidad circular como la dada por la distribución de von Mises. Esto permite una representación alternativa de la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad,

f̂(x) = \frac{1}{nh} ∑ K(\frac{1 − x^{T} x_{i}}{h})

Dada una muestra aleatoria de ángulos θ_{1}, …, θ_{n} ∈ [0, 2π]. Si consideraremos que el estimador no parametrico de la densidad con función núcleo la distribución von Mises (2.1), viene dado por

f̂(θ, ν) = \frac{c_{0}(ν)}{n} ∑_{i=1}^{n} L(ν cos(θ − θ_{i}))  (2.1)

c_{0}(ν) = \frac{1}{2πI_{0}(ν)} L(x) = e^{x}

(2.2)

• Dónde I_{r}(ν) es la función de Bessel modificada de orden r.

• El parámetro de concentración ν ahora ha asumido el papel de la inversa del parámetro de suavizado.

Para cualquier θ y entero j, los ángulos θ y θ + 2πj son idénticos una función de masa de probabilidad puede ser necesaria para el núcleo K. Una posible opción planteada por [9] es la distribución von Mises (1.9). El parámetro de concentración controla el grado de suavidad en estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular y es análogo al parámetro de suavizado excepto que valores altos de ν proporcionan menos suavidad y pequeños valores de ν conducen a mayor suavidad.

2.2 Selección del parámetro de suavizado.

A continuación, nos centramos en la elección del parámetro de suavizado. Existen varios métodos para seleccionar el parámetro de suavizaso subjetivamente, regla plug-in escala von Mises, o automáticamente, validación cruzada.

2.2.1 Regla plug-in escala von Mises

Si suponemos que f(·) es von Mises con concentración κ y (sin pérdida de generalidad) media circular μ = 0. El error asintótico cuadrático medio integrado es

AMISE(ν) = 3κ^{2}I_{2}(2κ)/ {32πν^{2}I_{0}(κ)^{2}}

El error asintótico cuadrático medio integrado es de la forma aν^{−2} + bν^{1/2} la cual puede ser minimizada diferenciando respecto de ν e igualando a cero. Esto permite una ”Regla plug-in escala von Mises” para el parámetro de suavizado ν basado en la estimación de κ ([10].

ν = [3nκ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(κ̂)^{2}}^{−1}]^{2/5}  (2.3)

Por tanto el parámetro de suavizado, así estimado, tiene una expresión de la forma ν = Cn^{2/5} dónde

C = [3κ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(κ̂)^{2}}^{−1}]^{2/5}

2.2.2 Validación cruzada

Introducimos la validación cruzada para minimizar la función pérdida dada por error cuadrático medio y la función de pérdida dada por Kullback-Leibler. Consideremos la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad construída dejando fuera el valor θ_{j} de la muestra.

f̂_{j}(θ, ν) = \frac{c_{0}(ν)}{n} ∑_{i≠j} L(ν cos(θ − θ_{i}))

c_{0}(ν) = \frac{1}{2πI_{0}(ν)} L(x) = e^{x}

Sea

cv_{2}(ν) = 2n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(θ_{i}, ν) − ∫ f̂^{2}(θ, ν)dθ

cv_{KL} = n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(θ_{i}, ν)

Luego −cv_{2}(ν) + ∫ f^{2} y −cv_{KL}(ν) + ∫ flog(f) son estimaciones insesgadas de la perdida del error cuadrático L_{2}(ν) y la pérdida dada por Kullback-Leibler ([6]), respectivamente.

v_{2} = argmin_{ν≥0} − cv_{2}(ν)  (2.4)
v_{KL} = argmin_{ν≥0} − cv_{KL}(ν)  (2.5)

(2.6)

De estas dos expresiones obtenemos dos posibles valores para el parámetro de suavizado.

2.2.3 Ilustración

Con el fin de estudiar como se comportan los tres parámetros de suavizado, obtenidos en este capítulo, para la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad (2.1). Hemos simulado una muestra de tamaño 100 que sigue una mixtura de von Mises y se ha representado su distribución teórica junto a las tres estimaciones de la densidad obtenidas tras seleccionar diferentes parámetros de suavizado (2.3, 2.4, 2.5).

En (Figura 2.1) se observa como las estimaciones no parámetricas tipo núcleo de la densidad (2.1) obtenidas tras estimar el parámetro de validacíón cruzada (2.4, 2.5) son mejores que la dada por el parámetro de suavizado obtenido mediante plug-in (2.3). Pues ambas estimaciones se parecen notablemente a la teórica.

Figura 2.1: Repesentación de la densidad teorica de una mixtura de von Mises vM(π/2,15),vM(3π/2,15) y la estimación no paramétrica de la densidad seleccónando el parámetro de suavizado mediante las técnicas estuadiadas. L2 (verde), KL (violeta), plug-in (marrón)

Función de regresión circular-lineal

En este capítulo descibiremos una estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal, sección 3.1, que se puede utilizar para investigar la relación entre una variable explicativa direccional y una variable respuesta lineal. Mediante validación cruzada obtendremos razonables parámetros de suavizado, sección 3.2.

La estimación no paramétrica tipo núcleo de la función de regresión es comunmente usada como una forma de resumir la relación entre dos variables sin requerir el supuesto de una forma paramétrica para describir esta relación.

3.1 Estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal

Dadas n observaciones de una variable direccional explicativa θ_{1}, …, θ_{n} y una variable respuesta lineal y_{1}, …, y_{n}, suponemos que y_{i} = m(θ_{i}) + ϵi, dónde epsiloni son variables con media cero, independientes e identicamente distribuídos. Luego, la estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal, m(θ), viene dada por ([5])

m̂(θ; κ) = \frac{∑_{i=1}^{n} y_{i}g(θ − θ_{i}, 0, κ)}{∑_{i=1}^{n} g(θ − θ_{i}, 0, κ)}  (3.1)

La cual es una estimación (3.1) análoga al estimador de Nadaraya-Watson para caso lineal.

3.2 Selección del parámetro de suavizado

La elección del grado de suavizado es crucial para la estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión, asi como para la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad. Existen varios métodos para seleccionar el parámetro de suavizado subjetivamente o automáticamente y pueden ser extendidos al caso de la estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión.

Por ejemplo, cuando el núcleo de suavizado evaluado sobre datos lineales es un núcleo Gausiano, Silverman recomienda un parámetro de suavizado de 0.9σ̂n^{−1/5} y el valor h_{s} = 1.06σ̂n^{−1/5} es sugerido por Scott. (En ambos casos σ̂ es tipicamente dado por el mínimo de la desviación típica muestral y el rango intercuartílico dividido por 1.34). Ambas pueden estar conectadas con el parámetro κ en la distribución de von Mises usando el siguiente enlace conocido entre la distribución de von Mises y la distribución Gausiana propiedad de la distribución von Mises [9]. Si θ es distribuída de acuerdo con la distribución von Mises centrada en μ y con parámetro κ, luego

κ^{−1/2}(θ − μ) →_{D} N(0, 1) κ → ∞

Esto sugiere la elección del parámetro de concentración κ mediante

κ = \frac{1}{h_{s}^{2}}  (3.2)

Otra opción es seleccionar κ por validación cruzada de mínimos cuadráticos (LCV). Como en el caso lineal, escogemos κ de modo que minimize a la función dónde son las estimaciones sin el dato j-ésimo.

CV (κ) = n^{−1} ∑_{j=1}^{n}[y_{j} − m̂^{−j}(θ_{j}; κ)]^{2}  (3.3)

m̂^{−j}(θ_{j}; κ) = \frac{∑_{i≠j}^{n} y_{i}g(θ_{j} − θ_{i}, 0, κ)}{∑_{i≠j}^{n} g(θ − θ_{i}, 0, κ)}  (3.4)

La estimación no paramétrica tipo núcleo seleccionando el parámetro de suavizado mediante LCV puede ser inconsistente bajo una variedad de circunstancias. En particiular, para datos discretos con múltiples valores repetidos, validación cruzada tiende a sugerir parámetros de suavizado que suavizan muy poco, es decir, κ tiende a ser muy grande. Por tanto valores de κ escogidos de acuerdo (3.2) serán preferidos en este caso.

El modelo de Möbius de series de tiempo

En este capítulo un modelo de regresión circular propuesto en [3] es adaptado al contexto de series de tiempo siguiendo la metodología propuesta en ([7]), sección 4.1. La distribución de θ_{t} dado θ_{t−1} es modelada usando una distribución von Mises particular. En la sección 4.1 comentaremos el modelo de regresión estudiado por [3] y lo adaptaremos a una serie de tiempo. La función de máxima verosimilitud (condicionada a la primera observación) es obtenida en la sección 4.2 y la estimación de los parámetros.

4.1 El modelo Möbius de series de tiempo

La componente determinística del modelo de regresión estudiado por [3] une a la variable angular dependiente v con la variable angular independiente u mediante

tan\frac{1}{2}(v − β) = ω tan \frac{1}{2}(u − α)  (4.1)

dónde ω ∈ [−1, 1] es el parámetro que determina la pendiente y −π ≤ α, β < π son parámetros que determinan la localización angular. La ecuación (4.1) nos conduce a

v = β + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(u − α)\}  (4.2)

Luego, aplicaremos la ecuación (4.2) a las series de datos temporales, reemplazando el ángulo v por θ_{t} y el ángulo u por θ_{t−1}, t = 2, …, n. Esta sustitución nos sugiere la existencia de un único parámetro de localización, α = β, obteniendo así

tan \frac{1}{2}(θ_{t} − α) = ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)  (4.3)

y

θ_{t} = α + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}  (4.4)

ecuaciones análogas a (4.1) y (4.2).

Para el modelo de serie de tiempo dado en (4.4) se asume que θ_{t}|θ_{t−1} sigue una distribución von Mises

θ_{t}|θ_{t−1} ∼ M(α + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\} , k)  (4.5)

Por tanto el modelo de serie de tiempo se convierte en

θ_{t} = α + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\} + ϵ_{t}  (4.6)

dónde ϵ_{t} ∼ M(0, k). Nos referiremos a la distribución condicionada de la media direccional de θ_{t} dado θ_{t−1} como μ_{t}. Esto es

μ_{t} = α + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}  (4.7)

El valor de ω se restringe al intervalo [-1,1] así que α es único de identificación. Esto es, restamos π al valor de α en la ecuación (4.3). Luego

tan \frac{1}{2}(θ_{t} − α + pi) = ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α + pi)  (4.8)

Ahora tengamos en cuenta que \frac{1}{2}(ϕ + π) = −cot\frac{1}{2}ϕ, (4.8) es equivalente a

−cot\frac{1}{2}(θ_{t} − α) = −ωcot\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)

de lo que se obtiene

tan \frac{1}{2}(θ_{t} − α) = \frac{1}{ω} tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)  (4.9)

La equivalencia de (4.8) y (4.9) muestra que, si ω no estuviese restringido al intervalo [-1,1], y si (α̂, ω̂) es una solución de (refmodel3), luego (α̂ − π, \frac{1}{ω̂}) sería una solución equivalente.

4.2 Función de máxima verosimilitud

Como

θ_{t}|θ_{t−1} ∼ M(α + 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\} , k)

se obtiene que

f(θ_{t}|θ_{t−1}) = 2πI_{0}(κ)^{−1}expκ cos(θ_{t} − μ_{t})

dónde μ_{t} es dada por (4.7) Luego la función de masa de probabilidad de θ_{2}, …, θ_{n} dado θ_{1} es

f(θ_{2}, …, θ_{n}|θ_{1}) = f(θ_{2}θ_{1})f(θ_{3}, …, θ_{n}|θ_{1}, θ_{2})
= f(θ_{2}|θ_{1})f(θ_{3}|θ_{1}, θ_{2})f(θ_{4}, …, θ_{n}|θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})
= … = f(θ_{2}|θ_{1})f(θ_{3}|θ_{1}, θ_{2})f(θ_{4}|θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) ⋯ f(θ_{n}|θ_{1}, …, θ_{n−1})

Pero en ecuación (4.5) el valor de θ_{t} depende solo del valor θ_{t−1}. Además,

f(θ_{t}|θ_{1}, …, θ_{t−1}) = f(θ_{t}|θ_{t−1},

∀t = 2, …, n. La función de máxima verosimilitud condicionada es

L_{C}(α, ω, κ) = \{2πI_{0}(κ)\}^{−(n−1)} exp \{κ ∑_{t=2}^{n} cos [θ_{t} − α − 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}]\}

dando la verosimilitud

l_{C}(α, ω, κ) = const.−(n−1)logI_{0}κ+κ ∑_{t=2}^{n} cos [θ_{t} − α − 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}] .

Esto se máximiza respècto los parámetros α y ω desconocidos

l_{C}(α, ω) = ∑_{t=2}^{n} cos [θ_{t} − α − 2 tan^{−1} \{ω tan \frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}] .  (4.10)

La maximización de (4.10) la haremos usando la función nlm de R pero minimizando la función −l_{C}(α, ω) usando un algoritmo tipo Newton. Una vez que l(α, ω) ha sido máximizada con respecto a α y ω, una aproximación mediante verosimilitud puede ser usada para obtener una estimación de máxima verosimilitud de κ, maximizando

l_{C}(α̂, ω̂, κ) = const. − (n − 1)logI_{0}κ + κl_{α̂,ω̂}  (4.11)

22 Capítulo 4. El modelo de Möbius de series de tiempo respecto de κ. Diferenciando (4.11) respecto de κ y teniendo en cuenta que d(I_{0}(κ))/dκ = I_{1}(κ), la función de Bessel de primer tipo y de orden uno, obtenemos

\frac{∂}{∂κ}[l_{C}(α̂, ω̂, κ)] = −(n − 1)\frac{I_{1}(κ)}{I_{0}(κ)} + l_{α̂,ω̂},

así que κ es la solución de

\frac{I_{1}(κ̂)}{I_{0}(κ)} = \frac{l_{α̂,ω̂}}{n − 1}.

Aplicación. Datos de meteorología e inmisión

En este capítulo, realizaremos un análisis exploratorio de la dirección de viento tomada en la estación meteorológica, A Mourela, durante el año 2010. Para ello realizaremos un análisis descriptivo de esta variable (sección 4.2.) así como realizaremos una estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad (sección 4.3.) y estimaremos el modelo de Möbius de series de tiempo (sección 4.5.).

Además, estudiaremos que tipo de relación hay entre el SO_{2} y la dirección de viento en las estaciones de medida automáticas B1, B2, C9, F2 Y G2, construyendo un modelo de regresión circular-lineal (sección 4.4).

Cabe mencionar que tanto la estación meteorológica a Mourela como las estaciones de medida automáticas pertenecen al Sistema de Control Suplementario de la Contaminación Atmosférica de la U.P.T. de As Pontes propiedad de Endesa Generación S.A.

Por otra parte, notemos que para llevar a cabo este capítulo fue necesaria realizar una perturbación en los datos, la cual está descrita en la sección 4.1. Por tanto, en este capitulo no vamos a trabajar con los datos minutales recogidos en la estación meteorológica y en las estaciones de medida automáticas B1, B2, C9, F2, G2; sino que vamos a trabajar con los datos horarios perturbados.

5.1 Datos perturbados

Al analizar los datos obtenidos por los dispositivos de dirección se observó que había valores repetidos tanto en la dirección de viento como en las concentraciones de SO_{2}. Esto pueden ser debido a que estos dispositivos no presentan una precisión tan alta como para evitarlo. La aparición de medidas repetidas va a ser un problema a la hora de implementar ciertas técnicas, como la validación-cruzada para escoger el parámetro de suavizado.

Con el fin de solucionar dicho problema, haremos una perturbación en ambas variables. La perturbación en el caso lineal, viene dada por [1], una muestra artificial de la concentración de SO_{2} viene dada por:

X̃_{i} = X_{i} + bϵ_{i}

, dónde X_{i} denota los valores observados de SO_{2}, b = 1.03σ̂n^{−1/3} y ϵ_{i}, i = 1, …, n son variables aleatorias independientes e identicamente distribuídas siguiendo el núcleo de Epanechnikov en (−\sqrt{5}, \sqrt{5}). σ̂ es un estimador robusto de la varianza, el cual puede ser obtenido usando el rango intercuartílico estandarizado. [1] muestra que esta elección de b para los datos perturbados permite una estimación consistente de la función de distribución, obteniedo un error cuadrático medio con la misma magnitud que el de la función empírica de distribución acumulada.

En el caso circular, la perturbación se realiza de forma similar al caso lineal. La muestra artificial de la dirección del viento es

θ̃_{i} = θ_{i} + dϵ_{i}

, dónde θ_{i} denota los valores observados de la dirección de viento y ϵ_{i}, i = 1, …, n son variables aleatorias independientes generadas de la distribucíón von Mises con μ = 0 y κ = 1. En ([4])se toma d = n^{−1/5} basándose en los resultados de ([8]) para la estimación tipo núcleo de la distribución multivariante. Esta perturbación resuelve el problema de los valores repetidos y no afecta a la funcción de distribución subyacente.

5.2 Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela

En esta sección, vamos a analizar los datos de viento recogidos durante el año 2010 por la estación meteorológica A Mourela situada en As Pontes, que van a 5.2 Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela 25

a ser usados en todo el capítulo excepto en la sección 4.4. Cabe mencionar que esta estación metereológica pertenece al Sistema de Control Suplementario de la Contaminación Atmosférica de la U.P.T. de As Pontes.

Figura 5.1: Estación Meteorológica A Mourela

Esta estación recoge datos minutales pero ,en este caso, trabajaremos con las medias horarias con el objetivo de reducir la cantidad de datos. Aunque a la hora de presentar los resultados de los datos horarios de viento nos seguimos encontrando con una gran cantidad de datos, 8360. Luego, para que los gráficos sean más fáciles de visualizar hemos dividido el año 2010 en cuatro periodos de 2090 datos,(Tabla 5.1).

En lo que se refiere a la notación, cabe mencionar que la dirección de viento va a tomar valores entre [0, 2π) y cada valor representa el ángulo que forma respecto al Este. Por tanto, vamos a usar la siguiente codificación 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3π}{2} representan las direcciones Este, Norte, Oeste y Sur, respectivamente.

En este análisis exploratorio de los datos , observamos que en el primer y el cuarto periodo del año 2010 la dirección media es la de Sureste y que la dirección media del segundo y tercer periodo del año 2010 es la de Noreste (Tabla 5.1). Además se observa que los datos están muy dispersos (Figuras 5.3, 5.5, 5.7, 5.9) pues la media de longitud resultante R̄ es próxima a 0 (Tabla 5.1). Lo que también se observa a la vista de (Figuras 5.4, 5.6, 5.8, 5.10). De hecho, podemos decir que la distribución de la dirección de viento en los 4 periodos en los que hemos dividido el año 2010 es prácticamente uniforme.

n Media direccional Media de longitud resultante
Primer periodo 2090  5.3634  0.2177
Segundo periodo 2090  0.6446  0.2850
Tercer periodo 2090  0.2134  0.1750
Cuarto periodo 2090  5.7374  0.2952

Tabla 5.1: Estudio de los datos de dirección de viento 2010 mediante una medida de localización (media direccional) y una medida de dispersión (media de longitud resultante)

Figura 5.2: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del primer periodo de 2010

5.3 Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular

En esta sección obtendremos la estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular (2.1) para cada uno de los cuatro periodos en los que hemos dividido el año 2010. Para ello hemos implementado tres diferentes elecciones del parámetro de suavizado (2.4,2.5,2.3) para la correspondiente estimación de la densidad circular en cada uno de los periodos en los que hemos dividido el año 2010. Los parámetros de suavizado obtenidos (Tabla 5.2) mediante validación cruzada (2.4,2.5) toman valores del mismo orden pero más altos que los obtenidos mediante la ténica plug-in (2.3) en todos los periodos. Por lo que las estimaciones no parámetricas tipo núcleo de la densidad obtenidas seleccionando el parámetro de suavizado mediante la técnica plug-in van a ser más suaves que con el dado por las técnicas de validación cruzada.

5.3 Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular 27

Figura 5.3: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del primer periodo de 2010

plug-in L2 KL
Primer periodo 3.10 28.56 26.20
Segundo periodo 4.87 63.57 77.17
Tercer periodo  2.17 41.44 36.17
Cuarto periodo 5.16 35.56 34.31

Tabla 5.2: Estimaciones del parámetro de suavizado para la estimación no paramétrica tipo núcleo de la función de densidad circular

En primer lugar, al representar las estimaciones no paramétricas tipo núcleo de la densidad circular seleccionando el parámetro de suavizado mediante plug-in en los cuatro periodos; se observa que estamos ante una situación de sobresuavizado, pues las cuatro estimaciones son muy suaves (Figuras 5.11, 5.12, 5.3, 5.3) como ya apuntaban los valores obtenidos en (5.2).

Figura 5.4: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del segundo periodo de 2010

A continuación, estudiamos la estimación de la densidad circular seleccionando el parámetro de suavizado mediante validación cruzada. A la vista de los gráficos de validación cruzada correspondiente a cada uno de los periodos (Figuras 5.3, 5.3, 5.3, 5.3) se observa que tanto la validación cruzada para minimizar la función pérdida dada por error cuadrático medio (L2) como la dada por la función de pérdida de Kullback-Leibler (KL) convergen, es decir, alcanzan un mínimo (2.4,2.5). Nótese que hemos implementado la validación cruzada que máximiza la función de perdida cambiada de signo en ambos casos.

Observamos que estimando la función de densidad seleccionando el parámetro de suavizado mediante validación cruzada con cualquiera de las dos funciones de pérdida, anteriormente definidas, obtenemos la prácticamente la misma estimación a lo largo de los cuatro periodos en los que hemos dividido el año 2010. En cambio, la estimación de la densidad seleccionando el parámetro de suavizado mediante plug-in, se obtiene una estimación sobresuavizada de la densidad circular (Figuras 5.18, 5.22, 5.26, 5.30).

En definitiva, para cada uno de los periodos nos quedamos con cualquiera de las dos estimaciones de la densidad circular obteniendo el parámetro de suavizado mediante la validación cruzada para minimizar la función pérdida dada por error cuadrático medio (Figuras 5.16, 5.20, 5.24, 5.28) o la dada por la función de pérdida dada por Kullback-Leibler (Figuras 5.17, 5.21, 5.25, 5.29).

5.3 Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular 29 Figura 5.5: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del segundo periodo de 2010

Figura 5.24: Estimación KL de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura 5.6: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del tercer periodo de 2010

Figura 5.27: Estimación L2 de la densidad del cuarto periodo de 2010 0 Capítulo 5. Aplicación. Datos de meteorología e inmisión

Figura 5.7: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del tercer periodo de 2010

- Figura 5.28: Estimación KL de la densidad del cuarto periodo de 2010 −

5.4 Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

En esta sección realizaremos la estimación del modelo de Möbius de series de tiempo (4.4) para los datos horarios perturbados de la dirección de viento recogida en la estación meteorológica A Mourela. Comenzamos esta sección realizando un estudio de la dependencia en los datos de dirección de viento. Para ello, representamos las autocorrelaciones circulares (Figuras 5.31, 5.34, 5.37, 5.40) dónde se observa que los datos son dependientes; lo que también se observa al representar la serie de tiempo de la dirección del viento frente a sus retardos, en cada uno de los periodos.

Al construir el modelo de Möbius de series de tiempo (4.4) hemos tenido que obtener los parámetros α, ω, κ (Tabla 5.3) dónde ω ∈ [−1, 1] y −π α < π. El modelo de series de tiempo obtenido en cada uno de los periodos (Figuras 5.33, 5.36, 5.39, 5.4) sigue a los datos, aunque al tener una muestra tan grande no se aprecia de forma clara.

¿ 0 Capítulo 5. Aplicación. Datos de meteorología e inmisión Figura 5.8: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del cuarto periodo de 2010 ¿ ¿¿ ¿ 5.4 Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo 1 Figura 5.9: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del cuarto periodo de 2010 ¿ ¿¿ 2 Capítulo 5. Aplicación. Datos de meteorología e inmisión

Figura 5.10: Estimación plug-in de la densidad del primer periodo de 2010 5.4 Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo 3

Figura 5.11: Estimación plug-in de la densidad del segundo periodo de 2010 4 Capítulo 5. Aplicación. Datos de meteorología e inmisión

Figura 5.12: Estimación plug-in de la densidad del tercer periodo de 2010 5.4 Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo 5

Figura 5.13: Estimación plug-in de la densidad del cuarto periodo de 2010

Figura 5.14: Validación cruzada del primer periodo de 2010

5.5 Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal

En esta sección vamos a realizar la estimación de la regresión de las concentraciones de horarias de transformadas mediante la función logaritmo SO_{2} frente a las direcciones horarias de viento en las 5 estaciones de inmisión, B1, B2. C9. F2, G2 en las cuales se recoge la dirección de viento.

Comenzemos analizando los valores que hemos obtenido para el parámetro de suavizado en la estimación de la función de regresión circular. En primer lugar, empleando validación cruzada de mínimos cuadráticos (3.3) se han obtenido, en general, unos parámetros de suavizazo pequeños (Tabla 5.4). Por lo que podemos concluir que estamos ante una situación de sobresuavizado (Figuras 5.49, 5.52, 5.55, 5.58, 5.61).

5.5 Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal7

Figura 5.15: Estimación L2 de la densidad del primer periodo de 2010

Esto puede ser debido a que como los datos de SO_{2} están muy concentrados (Figuras 5.43, 5.44, 5.45, 5.46, 5.47) al sacarle el dato j-ésimo la nueva muestra no varía de la original y recordemos que al realizar la validación cruzada de mínimos cuadráticos se escoge κ de modo que minimize a la función dónde son las estimaciones sin el dato j-ésimo (Figuras 5.48, 5.51, 5.54, 5.57, 5.60).

Por otra parte, hemos obtenido el parámetro de suavizado mediante la expresión dada por (3.2). En este caso los parámetros de suavizado obtenidos son muy pequeños 5.5), por lo que, se concluye también que estamos ante una situación de sobresuavizado (Figuras 5.50, 5.53, 5.56, 5.59, 5.62).

8 Capítulo 5. Aplicación. Datos de meteorología e inmisión Figura 5.30: Autocorrelaciones circulares para dirección de viento del primer periodo de 2010 5.5 Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal9

Figura 5.16: Estimación KL de la densidad del primer periodo de 2010 ı ı 10 Capítulo 5. Aplicación. Datos de meteorología e inmisión Figura 5.17: Estimación no paramétrica de la Densidad. L2 (azul), KL (verde), plug-in (violeta)

5.5 Estimación tipo núcleo de la función de r