Datos direccionales.

Proyecto Fin de Máster.

Leyenda Rodríguez, María

7 de junio de 2011

Leyenda Rodríguez, María  Datos direccionales.

▶ En diversos campos surgen problemas estadísticos dónde los datos son dados mediante medidas angulares dando la orientación o angulos en el plano (datos circulares) o en el espacio (datos esféricos).

▶ Datos circulares es el caso más simple de esta categoría de datos llamada datos direccionales, dónde la única respuesta es no escalar, pero es angular o direccional.

Notación

▶ Las direcciones en el plano pueden ser observadas como vectores en el plano o como puntos en el círculo unidad. También se pueden observar, como ángulos o como números complejos.

▶ Escogemos direccción y orientación inicial.

Luego cada punto x en el círculo unidad puede ser representado por un ángulo θ o por un número complejo unitario z.

x = (cosθ, senθ)
z = e^{iθ} = cosθ + isenθ

Medidas de localización

▶ Sean x_{1}, …, x_{n} cuyos ángulos correspondientes θ_{i},

i = 1, …, n. ▶ La dirección media θ̄ de θ_{1}, …, θ_{n} es la dirección de

x_{1} + … + x_{n}. Es también el centro de masa x̄ de x_{1}, …, xn. ▶ Las coordenadas cartesianas de x_{j} son (cosθ_{j}, senθ_{j}) ▶ Las coordenadas cartesianas del centro de masa son (C̄, S̄).

C̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}cosθ_{j}
S̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}senθ_{j}

Medidas de localización

▶ Dónde θ̄ es la solución de las ecuaciones C̄ = R̄cosθ̄

S̄ = R̄senθ̄

▶ La media de la longitud resultante R̄ es dada por

R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}

Medidas de localización

▶ Notemos que θ̄ no está definida cuando R̄ = 0 ▶ Cuando R̄ > 0, θ̄ es dada por

θ̄ = \{ \begin{matrix}tan^{−1}(S̄/C̄) & si & C̄ ≥ 0 \\ tan^{−1}(S̄/C̄) + π & si & C̄ < 0 \end{matrix}

Notemos que en el contexto de estadística circular θ̄ no es la media (θ_{1} + … + θ_{n})/n

Medidas de localización

▶ Notemos que la media muestral de la dirección es equivariante

bajo rotación. ▶ Diferentes estadísticos utilizando diferentes sistemas de

coordenadas estarán de acuerdo en dónde está la media la muestral, a pesar de que puede usar números diferentes para describir su posición

Medidas de localización

▶ La mediana muestral de la dirección θ̄ de los ángulos (θ_{1}, …, θ_{n}) es algún ángulo ϕ tal que

1. La mitad de los puntos se encuentran en el arco [ϕ, ϕ + π)

2. la mayoría de los puntos están más cerca de ϕ que de ϕ + π

▶ Cuando n es par, la mediana coincide con uno de ellos. ▶ Cuando n es impar, es conveniente tomar la mediana como el

punto medio de dos puntos adyacentes adecuados.

Medidas de concentración y dispersión

▶ R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}, entonces si x_{1}, …, x_{n} son vectores unitarios,

0 ≤ R̄ ≤ 1. ▶ Si las direcciones θ_{1}, …, θ_{n} están estrechamente agrupadas

luego R̄ = 1. ▶ Si θ_{1}, …, θ_{n} están muy dispersas luego R̄ será prácticamente

0.

Por tanto, R̄ es una medida de concentración del conjunto de datos.

▶ R̄ es invariante bajo rotaciones. ▶ La longitud resultante R̄ es la longitud del vector resultante

x_{1} + … + x_{n}. ▶ R = nR̄

Medidas de concentración y dispersión

▶ La media de longitud resultante R̄ es la medida de dispersión

más importante. ▶ A veces emplearemos otras medidas de dispersión de datos

circulares, para comparar con datos en línea: la medida más simple es la varianza circular muestral

V = 1 − R̄

▶ Desviación circular estándard

v = \sqrt{−2logR̄}

Medidas de concentración y dispersión Otras medidas de dispersión

▶ Distancia entre dos ángulos θ y ξ

min(θ − ξ, 2π − (θ − ξ)) = π − |π − |θ − ξ||

▶ Medida de dispersión de los ángulos θ_{1}, …, θ_{n} sobre un ángulo dado α es

d_{0}(α) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}(π − |π − |θ_{i} − α||)

▶ la función d_{0} toma el mínimo en la mediana muestral θ̃. La desviación circular media es d_{0}(θ̃)

Distribución circular

▶ Una distribución circular es una distribución de probabilidad la

cual está concentrada en la circunferencia de círculo unidad. ▶ Las distribuciones circulares son de dos tipos:

1. Discretas- asignan masas de probabilidad solo a un número de direcciones

2. Absolutamente contínuas

▶ Existe la función de densidad f (θ)

1. f (θ) ≥ 0

2. ∫_{0}^{2π} f (θ)dθ = 1
3. f (θ) = f (θ + 2π)

Distribución lattice

Pr(θ = v + \frac{2πr}{m} ) = p_{r} r = 0, 1, ⋯, m − 1

p_{r} ≥ 0, ∑_{r=0}^{m−1}p_{r} = 1

▶ Los puntos \frac{2πr}{m} son los vértices de un polígono de m lados

inscrito en el círculo unidad. ▶ Si los pesos son p_{r} = \frac{1}{m}, entonces se le denomina distribución

uniforme discretizada en m puntos.

Distribución uniforme

▶ A menudo usada como modelo nulo. ▶ Es la única distribución en el círculo la cual es invariante bajo

rotación y reflexión. ▶ Su función de masa de probabilidad

f (θ) = \frac{1}{2π}

Distribución von Mises Definición

g(θ; μ, k) = \frac{1}{2πI_{0}(k)}e^{kcos(θ−μ)}

▶ I_{0} denota la función de Bessel modificada de primer tipo y orden 0,

I_{0}(k) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{kcosθ}dθ, I_{0}(k) = ∑_{r=0}^{∞} \frac{1}{(r!)^{2}}(\frac{k}{2} )^{2r}

▶ El parámetro μ es la media de las direcciones ▶ k es el parámetro de concentración.

Distribución von Mises

Relación v,R̄,S_{n}^{2} y parámetro de concentración

1. Generamos una muestra M(π, k) de tamaño 3000 para distintos valores del párametro k (75 valores).

2. Para cada una de las muestras calculamos

▶ La varianza definida de forma análoga que en el caso lineal con respecto a la distancia euclídea y a la distancia definida por la longitud de arco,

▶ el parámetro de concentración R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}} y ▶ la desviación circular estándard \sqrt{−2log(R̄)}.

3. Representamos la estimador local-lineal de cada una de las estimaciones anteriores frente al parámetro de von-Mises.

Distribución von Mises Relación v,R̄,S_{n}^{2} y parámetro de concentración

S_{n}^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}d^{2}(θ_{i}, θ)

θ = min_{y} \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}d^{2}(θ_{i}, y)

d^{2}(θ_{i}, θj) = π − |π − |θ_{i} − θ_{j}|| d^{2}(θ_{i}, θj) = 2(1 − (cos(θ_{i} − θ_{j})))

Distribución von Mises Forma

▶ La distribución es unimodal y es simétrica sobre θ = μ ▶ La moda se encuentra en θ = μ y la antimoda en θ = μ + π ▶ la relación de la moda de la densidad y la antimoda viene

dada por e^{2k}, así que cuanto mayor sea el valor de k, mayor es el agrupamiento acerca de la moda.

Distribución von Mises

Relación con otras distribuciones

▶ Si k=0, entonces M(μ, k) es la distribución uniforme. ▶ La aproximación exp(x) ≅ 1 + x, muestra que para k

pequeños M(μ, k) ≅ C(μ, k/2), dónde C(μ, k/2) denota una distribución Cardioide.

▶ Cualquier von Mises puede ser aproximada por una distribución normal wrapped.

M(μ, k) ≅ WN(μ, A(k)), k → ∞
A_{k} = I_{1}(k)/I_{0}(k)

Distribución von Mises Función de distribución

F (θ; 0, k) = \frac{1}{I_{0}(k)} ∫_{0}^{θ} e^{kcosu}du

Distribución von Mises

Convolución

▶ La convolución de dos von Mises no es una distribución von

Mises. ▶ La convolución de dos distribuciones normal wrapped,

WN(μ_{1}, A(k_{1})) y WN(μ_{2}, A(k_{2})) es la distribución wrapped normal WN(μ_{1} + μ_{2}, A(k_{1})A(k_{2})). La cual puede ser aproximada porM(μ_{1} + μ_{2}, A^{−1}(A(k_{1})A(k_{2})))

θ_{1} + θ_{2} ∼ M(μ_{1} + μ_{2}, A^{−1}(A(k_{1})A(k_{2})))

Distribución Cardioide

▶ Perturbación de la densidad uniforme por la función coseno da

lugar a una distribución Cardioide C(μ, ρ) ▶ Función de masa de probabilidad

f (θ) = \frac{1}{2π} (1 + 2ρcos(θ − μ)) |ρ| < \frac{1}{2}

▶ La media de longitud resultante es ρ ▶ La media de la dirección es μ ▶ La distribución es simétrica y unimodal en μ (si ρ > 0). ▶ Si ρ = 0 la distribución se reduce a la distribución uniforme. ▶ El principal uso de estas distribuciones es como

aproximaciones de poca concentración a las distribuciones von Mises

Distribución Cardioide

θ_{i} ∼ C(μ_{i}, ρ_{i})(i = 1, 2) ⇒ θ_{1} + θ_{2} ∼ C(μ_{1} + μ_{2}, ρ_{2}ρ_{2})

El conjunto de distribuciones Cardioides es cerrado bajo convolución

Distribución Cardioide

Distribución Normal proyectada

▶ Las distribuciones en el círculo pueden ser obtenidas mediante

proyección radial de la distribución en el plano. ▶ Sea x un vector aleatorio bidimensional, Pr(x=0)=0. Luego

||x||^{−1}x es un punto aleatorio sobre el círculo unidad. ▶ Un ejemplo importante es aquel en el que x tiene una

distribución normal bivariante N_{2}(μ, ∑), en cuyo caso ||x||^{−1}x se dice que sigue una distribución normal proyectada PN_{2}(μ, ∑).

Aplicación

Meteorología: Cuando la velocidad del viento es modelada mediante una distribución normal bivariante, la resultante distribución marginal para la dirección del viento es una distribución normal proyectada.

p(θ; μ, ∑) =

\frac{ϕ(θ; 0, ∑) + | ∑ |^{−1/2}D(θ)ϕ(D(θ))ϕ(| ∑ |^{−1/2}(x^{T} ∑^{−1} x)^{−1/2}μ ∧ x)}{x^{T} ∑^{−1} x}

▶ ϕ(·; 0, ∑) denota la función de masa de probabilidad, ϕ y Φ denotan la función de masa de probabilidad y la función de densidad acumulada de N(0,1), x = (cosθ, senθ)^{T}

D(θ) = \frac{μ^{T} ∑^{−1} x}{(x^{T} ∑^{−1} x)^{1/2}}

μ ∧ x = μ_{1}senθ − μ_{2}cosθ μ = (μ_{1}, μ_{2})^{T}

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Distribución Wrapped

Definición

▶ Dada una distribución en la línea, se puede envolver alrededor

de la circunferencia del círculo de radio uno. ▶ Si x es una variable aleatoria en la línea, la variable aleatoria

correspondiente x_{w} de la distribución wrapped viene dada por

x_{w} = x(mod2π)

▶ Si el círculo es identificado con el conjunto de números complejos de módulo la unidad luego el mapa wraping x → x_{w} pueden ser escrito como

x → e^{2πix}

Definición

▶ Si x tiene como función de distribución F ⇒ la función de distribución F_{w} de x_{w} viene dada por

F_{w}(θ) = ∑_{k=−∞}^{∞}{F (θ + 2πk) − F (2πk)}

▶ Si x tiene como función de masa de probilidad f ⇒ la función de masa de probabilidad f_{w} de x_{w} es

f_{w}(θ) = ∑_{k=−∞}^{∞}f (θ + 2πk)

Distribución Wrapped Propiedades

1. (x + y)_{w} = x_{w} + y_{w}

2. Si la función característica de x es ϕ entonces la función característica {ϕ_{p} : p = 0, ±1, …} de x_{w} es dada por ϕ_{p} = ϕ(p)

3. Si ϕ es integrable entonces x tiene función una densidad y

f_{w}(θ) = ∑_{k=−∞}^{∞}f (θ + 2πk) = \frac{1}{2π} [1 + 2 ∑_{p=1}^{∞}(α_{p}cospθ + β_{p}senpθ)] Φ(p) = α_{p} + iβ_{p}

Propiedades

▶ Hay muchas distribuciones en las líneas las cuales pueden ser

envueltas en cualquier distribución dada en el círculo. ▶ Sea g la función de masa de probabilidad de una distribución

en el círculo y define una función de masa de probabilidad en la línea por

f (x) = p_{r}g(x)

2πr < x ≤ 2π(r + 1) r = 0, ±1, ±2, …,

▶ p_{r} son números no negativos tales que, ∑_{r=−∞}^{∞} p_{r} = 1.

▶ Dada una muestra aleatoria de ángulos θ_{1}, …, θ_{n} ∈ [0, 2π]. ▶ Consideraremos que el estimador no parametrico de la

densidad con función núcleo la distribución von Mises, viene dado por

f̂(θ, ν) = \frac{c_{0}(ν)}{n} ∑_{i=1}^{n}L(νcos(θ − θ_{i}))

c_{0}(ν) = \frac{1}{2πI_{0}(ν)} L(x) = e^{x}

▶ Dónde I_{r}(ν) es la función de Bessel modificada de orden r. ▶ El parámetro de concentración ν ahora ha asumido el papel

de (la inversa del) parámetro de suavizado.

▶ El error asintótico cuadrático medio integrado es

AMISE(ν) = 3κ^{2}I_{2}(2κ)/ {32πν^{2}I_{0}(κ)^{2}}

▶ El error asintótico cuadrático medio integrado es de la forma aν^{−2} + bν^{1/2} la cual puede ser minimizada diferenciando respecto de ν e igualando a cero.

▶ Esto permite una Regla plug-in von Mises-escala”para el parámetro de suavizado ν basado en la estimación de κ.

Regla plug-in von Mises-escala

ν = [3nκ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(hatκ)^{2}}^{−1}]^{2/5}
ν = Cn^{2/5}
C = [3κ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(κ̂)^{2}}^{−1}]^{2/5}

▶ Introducimos la validación cruzada para minimizar la función pérdida dada por error cuadrático medio y la función de pérdida dada por Kullback-Leiber.

▶ Consideremos la estimación de la densidad construída dejando fuera el valor θ_{j} de la muestra.

f̂_{j}(θ, ν) = \frac{c_{0}(ν)}{n} ∑_{i≠j}L(νcos(θ − θ_{i}))

c_{0}(ν) = \frac{1}{2πI_{0}(ν)} L(x) = e^{x}

▶ Sea

cv_{2}(ν) = 2n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(θ_{i}, ν) − ∫ f̂^{2}(θ, ν)dθ

cv_{KL} = n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(θ_{i}, ν)

▶ Luego −cv_{2}(ν) + ∫ f^{2} y −cv_{KL}(ν) + ∫ flog(f ) son estimaciones insesgadas de la perdida del error cuadrático L_{2}(ν) y la pérdida dada por Kullback-Leiber, respectivamente.

v_{2} = argmin_{ν≥0} − cv_{2}(ν)
v_{KL} = argmin_{ν≥0} − cv_{KL}(ν)

▶ De estas dos expresiones obtenemos dos posibles valores para el parámetro de suavizado.

▶ Dadas n observaciones de una variable direccional explicativa

θ_{1}, …, θ_{n} y una variable respuesta lineal y_{1}, …, y_{n} ▶ Suponemos que y_{i} = m(θ_{i}) + ϵi, dónde epsiloni son variables

con media cero, independientes e identicamente distribuídos. ▶ la estimación de la regresión tipo núcleo de m(θ) viene dada

por

ˆ(m)(θ; κ) = \frac{∑_{i=1}^{n} y_{i}g(θ − θ_{i}, 0, κ)}{∑_{i=1}^{n} g(θ − θ_{i}, 0, κ)}  (1)

▶ Análoga al estimador de Nadaraya-Watson.

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▶ La elección del grado de suavizado es crucial para la

estimación tipo núcleo de la regresión. ▶ Existen varios métodos para seleccionar el parámetro de

suavizaso subjetivamente o automáticamente. ▶ Por ejemplo, cuando el núcleo de suavizado evaluado sobre

datos lineales es un núcleo Gausiano, Silverman recomienda un parámetro de suavizado de 0.9σ̂n^{1/5} y el valor h_{s} = 1.06σ̂n^{1/5} es sugerido por Scott.

▶ Ambas pueden estar conectadas con el parámetro κ en la distribución de von Mises usando el siguiente enlace conocido entre la distribución de von Mises y la distribución Gausiana propiedad de la distribución von Mises (ver Mardia y Jupp).

▶ Si θ es distribuída de acuerdo con la distribución von Mises centrada en μ y con parámetro κ, luego

κ^{−1/2}(θ − μ) →_{D} N(0, 1) κ → ∞

▶ Esto sugiere la elección del parámetro de concentración κ

mediante

κ = \frac{1}{h_{s}^{2}}

▶ Otra opción es seleccionar κ por validación cruzada de

mínimos cuadráticos (LCV). ▶ Como en el caso lineal, escogemos κ de modo que minimize a

la función dónde son las estimaciones sn el dato j-ésimo.

CV (κ) = n^{−1} ∑_{j=1}^{n}[y_{j} − m̂^{−j}(θ_{j}; κ)]^{2}

m̂^{−j}(θ_{j}; κ) = \frac{∑_{i≠j}^{n} y_{i}g(θ_{j} − θ_{i}, 0, κ)}{∑_{i≠j}^{n} g(θ − θ_{i}, 0, κ)}

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▶ La estimación tipo núcleo seleccionando el parámetro de suavizado mediante LCV puede ser inconsistente bajo una variedad de circunstancias.

▶ para datos discretos con múltiples valores repetidos ▶ validación cruzada tiende a sugerir parámetros de suavizado

que suavizan muy poco, es decir, κ tiende a ser muy grande.

▶ Por tanto valores de κ escogidos de acuerdo κ = \frac{1}{h_{s}^{2}} serán preferidos en este caso.

Autocorrelación k-lag circular

ϕ_{i} = θ_{i+k}, i = 1, …, n − k (ϕ_{1}, θ_{1}), (ϕ_{2}, θ_{2}), …, (ϕ_{n−k}, θ_{n−k})

ρ̂_{k}_{T} = \frac{∑_{1≤i<j≤n−k} sen(θ_{i} − θ_{j})sen(ϕ_{i} − ϕ_{j})}{∑_{1≤i<j≤n−k} sen^{2}(θ_{i} − θ_{j}) ∑_{1≤i<j≤n−k} sen^{2}(ϕ_{i} − ϕ_{j})}

▶ La componente determinística del modelo de regresión estudiado por Downs y Mardia(2002) une a la variable angular dependiente v con la variable angular independiente u mediante

tan\frac{1}{2}(v − β) = ωtan\frac{1}{2}(u − α)
v = β + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(u − α)\}

▶ ω ∈ [−1, 1] es el parámetro pendiente. ▶ −π ≤ α, β < π son los parámetros angulares de localización.

▶ Reemplazamos el ángulo v por θ_{t} y el ángulo u por θ_{t−1}, t = 2, …, n. α = β

tan\frac{1}{2}(θ_{t} − α) = ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)

θ_{t} = α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}

θ_{t}|θ_{t−1} ∼ M(α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}, k)

▶ Por tanto el modelo de serie de tiempo se convierte en

θ_{t} = α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\} + ϵ_{t}

ϵ_{t} ∼ M(0, k)

μ_{t} = α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}

▶ Estimamos los parámetros α y ω mediante máxima verosimiltud; es decir, maximizando la función

l(α, β) = ∑_{i=2}^{n}cos [θ_{t} − α − 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}]

▶ La maximización la haremos usando la función nlm de R pero minimizando la función −l_{C}(α, ω) para numerosos conjuntos de datos.

▶ Una vez que l(α, ω) ha sido máximizada con respecto a α y ω, una aproximación mediante verosimilitud puede ser usada para obtener una estimación mediante máxima verosimilitud de κ, maximizando

l_{C}(α̂, ω̂, κ) = const. − (n − 1)logI_{0}κ + κl_{α̂,ω̂}

respecto de κ.

▶ Diferenciando respecto de κ y teniendo en cuenta que d(I_{0}(κ))/dκ = I_{1}(κ), la función de Bessel de primer tipo y de orden uno, obtenemos

\frac{∂}{∂κ}[l_{C}(α̂, ω̂, κ)] = −(n − 1)\frac{I_{1}(κ)}{I_{0}(κ)} + l_{α̂,ω̂},

así que κ es la solución de

\frac{I_{1}(κ̂)}{I_{0}(κ)} = \frac{l_{α̂,ω̂}}{n − 1}.

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Figura: Estimación plug-in de la densidad del primer periodo de 2010 Figura: Estimación plug-in de la densidad del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación plug-in de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación plug-in de la densidad del cuarto periodo de 2010 Figura: Validación cruzada del primer periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del primer periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del primer periodo de 2010 Figura: Estimación no paramétrica de la Densidad KL del primer periodo de 2010. v=50 (azul), v=100 (verde), v=150 (violeta)

Figura: Estimación no paramétrica de la Densidad. L2 (azul), KL (verde), plug-in (violeta)

Figura: Validación cruzada del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación no paramétrica de la Densidad KL del segundo periodo de 2010. v=50 (azul), v=100 (verde), v=150 (violeta)

Figura: Validación cruzada del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación no paramétrica de la Densidad KL del tercer periodo de 2010. v=50 (azul), v=100 (verde), v=150 (violeta)

Figura: Validación cruzada del cuarto periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del cuarto periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del cuarto periodo de 2010 Figura: Estimación no paramétrica de la Densidad KL del cuarto periodo de 2010. v=50 (azul), v=100 (verde), v=150 (violeta)

Figura: Validación cruzada en la estación B1 Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en B1. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en B1. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación B2 Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en B2. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en B2. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación C9 Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en C9. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

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Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en C9. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación F2 Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en F2. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

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Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en F2. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación G2 Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en G2. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular lineal en G2. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

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