Datos Direccionales.

Proyecto Fin de Máster.

Leyenda Rodríguez, María

Datos Direccionales.

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

Datos perturbados Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

6 Bibliografía

Datos Direccionales. Introducción

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

Datos perturbados Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

6 Bibliografía

En diversos campos surgen problemas estadísticos dónde los datos son dados mediante medidas angulares dando la orientación o angulos en el plano (datos circulares) o en el espacio (datos esféricos). Datos circulares es el caso más simple de esta categoría de datos llamada datos direccionales, dónde la única respuesta no es escalar, sino que, es angular o direccional.

Notación

Las direcciones en el plano pueden ser observadas como vectores en el plano o como puntos en el círculo unidad. También se pueden observar, como ángulos o como números complejos.

Luego cada punto x en el círculo unidad puede ser representado por un ángulo θ o por un número complejo unitario z.

x = (cosθ, senθ)
z = e^{iθ} = cosθ + isenθ

Medidas de localización

θ̄ es la dirección media de θ_{1}, …, θ_{n}. Viene dada por la solución de las ecuaciones

C̄ = R̄cosθ̄
S̄ = R̄senθ̄

dónde (C̄, S̄) son las coordenadas cartesianas del centro de masa

C̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}cosθ_{j} S̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n}senθ_{j}

La media de la longitud resultante R̄ es dada por

R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}

Medidas de localización

Notemos que θ̄ no está definida cuando R̄ = 0 Cuando R̄ > 0, θ̄ es dada por

θ̄ = \{ \begin{matrix}tan^{−1}(S̄/C̄) & si & C̄ ≥ 0 \\ tan^{−1}(S̄/C̄) + π & si & C̄ < 0 \end{matrix}

Notemos que en el contexto de estadística circular θ̄ no es la media (θ_{1} + … + θ_{n})/n Medidas de concentración y dispersión

R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}}, entonces si x_{1}, …, x_{n} son vectores unitarios, 0 ≤ R̄ ≤ 1. Si las direcciones θ_{1}, …, θ_{n} están estrechamente agrupadas luego R̄ = 1. Si θ_{1}, …, θ_{n} están muy dispersas luego R̄ será prácticamente 0.

Por tanto, R̄ es una medida de concentración del conjunto de datos.

R̄ es invariante bajo rotaciones. La longitud resultante R̄ es la longitud del vector resultante x_{1} + … + x_{n}.

Medidas de concentración y dispersión

La media de longitud resultante R̄ es la medida de dispersión más importante. A veces emplearemos otras medidas de dispersión de datos circulares, para comparar con datos en línea: la medida más simple es la varianza circular muestral

V = 1 − R̄

Desviación circular estándard

v = \sqrt{−2logR̄}

Distribución circular

Una distribución circular es una distribución de probabilidad la cual está concentrada en la circunferencia de círculo unidad. Las distribuciones circulares son de dos tipos:

1 Discretas- asignan masas de probabilidad solo a un número de

direcciones 2 Absolutamente contínuas

Existe la función de densidad f (θ)

1 f (θ) ≥ 0

2 ∫_{0}^{2π} f (θ)dθ = 1

3 f (θ) = f (θ + 2π)

Distribución von Mises

Definición

g(θ; μ, k) = \frac{1}{2πI_{0}(k)}e^{kcos(θ−μ)}

I_{0} denota la función de Bessel modificada de primer tipo y orden 0,

I_{0}(k) = ∑_{r=0}^{∞} \frac{1}{(r!)^{2}}(\frac{k}{2} )^{2r}

El parámetro μ es la media de las direcciones k es el parámetro de concentración.

Distribución von Mises Distribución von Mises

Relación v,R̄,S_{n}^{2} y parámetro de concentración

1 Generamos una muestra M(π, κ) de tamaño 3000 para distintos valores del párametro κ (75 valores).

2 Para cada una de las muestras calculamos

La varianza (1) con respecto a la distancia euclídea (2) y a la distancia definida por la longitud de arco(3),

S_{n}^{2}(θ) = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n}d^{2}(θ_{i}, θ)  (1)

θ = min_{y}S_{n}^{2}(y)

d^{2}(θ_{i}, θj) = 2(1 − (cos(θ_{i} − θ_{j})))  (2)
d^{2}(θ_{i}, θj) = π − |π − |θ_{i} − θ_{j}||  (3)

R̄ = \sqrt{C̄^{2} + S̄^{2}} y v = \sqrt{−2log(R̄)}.

Distribución von Mises

Datos Direccionales. Función de densidad circular

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

Datos perturbados Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

6 Bibliografía

Datos Direccionales.

Función de densidad circular Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular

Dada una muestra aleatoria de ángulos θ_{1}, …, θ_{n} ∈ [0, 2π]. Consideraremos el estimador no parametrico tipo núcleo de la densidad con núcleo la distribución von Mises

f̂(θ, ν) = \frac{c_{0}(ν)}{n} ∑_{i=1}^{n}L(νcos(θ − θ_{i}))

c_{0}(ν) = \frac{1}{2πI_{0}(ν)} L(x) = e^{x}

Dónde I_{r}(ν) es la función de Bessel modificada de orden r. El parámetro de concentración ν asume el papel del parámetro de suavizado.

Datos Direccionales.

Función de densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in

El error asintótico cuadrático medio integrado es

AMISE(ν) = 3κ^{2}I_{2}(2κ)/ {32πν^{2}I_{0}(κ)^{2}}

Minimizando el error AMISE, obtenemos una ” Regla plug-in escala von Mises”para el parámetro de suavizado ν basado en la estimación de κ.

Regla plug-in escala von Mises

ν = [3nκ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(κ̂)^{2}}^{−1}]^{2/5}
ν = Cn^{2/5}
C = [3κ̂^{2}I_{2}(2κ̂) {4π^{1/2}I_{0}(κ̂)^{2}}^{−1}]^{2/5}

Datos Direccionales.

Función de densidad circular Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

Introducimos la validación cruzada para minimizar la función pérdida dada por error cuadrático medio y la función de pérdida dada por Kullback-Leiber. Consideremos la estimación de la densidad construída dejando fuera el valor θ_{j} de la muestra.

f̂_{j}(θ, ν) = \frac{c_{0}(ν)}{n} ∑_{i≠j}L(νcos(θ − θ_{i}))

c_{0}(ν) = \frac{1}{2πI_{0}(ν)} L(x) = e^{x}

Funciones de validación cruzada

cv_{2}(ν) = 2n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(θ_{i}, ν) − ∫ f̂^{2}(θ, ν)dθ

cv_{KL} = n^{−1} ∑_{i=1}^{n} f̂_{i}(θ_{i}, ν)

Luego −cv_{2}(ν) + ∫ f^{2} y −cv_{KL}(ν) + ∫ flog(f ) son estimaciones insesgadas de la perdida del error cuadrático L_{2}(ν) y la pérdida dada por Kullback-Leiber, respectivamente.

v_{2} = argmin_{ν≥0} − cv_{2}(ν)
v_{KL} = argmin_{ν≥0} − cv_{KL}(ν)

De estas dos expresiones obtenemos dos posibles valores para el parámetro de suavizado.

Datos Direccionales. Función de regresión circular-lineal.

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

Datos perturbados Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

6 Bibliografía

Dadas n observaciones de una variable direccional explicativa θ_{1}, …, θ_{n} y una variable respuesta lineal y_{1}, …, y_{n} Suponemos que y_{i} = m(θ_{i}) + ϵi, dónde ϵ_{i} son variables con media cero, independientes e identicamente distribuídos.

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la regresión circular-lineal, m(θ)

m̂(θ; κ) = \frac{∑_{i=1}^{n} y_{i}g(θ − θ_{i}, 0, κ)}{∑_{i=1}^{n} g(θ − θ_{i}, 0, κ)}

Datos Direccionales.

Función de regresión circular-lineal. Selección del parámetro de suavizado

La elección del grado de suavizado es crucial para la estimación tipo núcleo de la regresión. Existen varios métodos para seleccionar el parámetro de suavizaso subjetivamente o automáticamente. Por ejemplo, cuando el núcleo de suavizado evaluado sobre datos lineales es un núcleo Gausiano, Silverman recomienda un parámetro de suavizado de 0.9σ̂n^{1/5} y el valor h_{s} = 1.06σ̂n^{1/5} es sugerido por Scott.

Si θ es distribuída de acuerdo con la distribución von Mises centrada en μ y con parámetro κ, luego

κ^{−1/2}(θ − μ) →_{D} N(0, 1) κ → ∞

Esto sugiere la elección del parámetro de concentración κ mediante

κ = \frac{1}{h_{s}^{2}}

Otra opción es seleccionar κ por validación cruzada de mínimos cuadráticos (LCV). Como en el caso lineal, escogemos κ de modo que minimize a la función dónde son las estimaciones sin el dato j-ésimo.

CV (κ) = n^{−1} ∑_{j=1}^{n}[y_{j} − m̂^{−j}(θ_{j}; κ)]^{2}

m̂^{−j}(θ_{j}; κ) = \frac{∑_{i≠j}^{n} y_{i}g(θ_{j} − θ_{i}, 0, κ)}{∑_{i≠j}^{n} g(θ − θ_{i}, 0, κ)}

La estimación tipo núcleo seleccionando el parámetro de suavizado mediante LCV puede ser inconsistente bajo una variedad de circunstancias.

para datos discretos con múltiples valores repetidos

validación cruzada tiende a sugerir parámetros de suavizado que suavizan muy poco, es decir, κ tiende a ser muy grande.

Por tanto valores de κ escogidos de acuerdo κ = \frac{1}{h_{s}^{2}} serán preferidos en este caso.

Datos Direccionales. El modelo de Möbius de series de tiempo

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

Datos perturbados Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

6 Bibliografía

La componente determinística del modelo de regresión estudiado por Downs y Mardia(2002) une a la variable angular dependiente v con la variable angular independiente u mediante

tan\frac{1}{2}(v − β) = ωtan\frac{1}{2}(u − α)
v = β + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(u − α)\}

ω ∈ [−1, 1] es el parámetro pendiente. −π ≤ α, β < π son los parámetros angulares de localización.

Reemplazamos el ángulo v por θ_{t} y el ángulo u por θ_{t−1}, t = 2, …, n. Esta sustitución sugiere un único parámetro de localización, α = β

tan\frac{1}{2}(θ_{t} − α) = ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)

θ_{t} = α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}

Para este modelo de series de tiempo se asume que:

θ_{t}|θ_{t−1} ∼ M(α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}, κ)

Modelo de Möbius de series de tiempo

θ_{t} = α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\} + ϵ_{t}

Dónde ϵ_{t} ∼ M(0, κ) y la media direccional condicionada, μ_{t}, de θ_{t} dado θ_{t−1} viene dada por

μ_{t} = α + 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}

Datos Direccionales.

El modelo de Möbius de series de tiempo Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

Estimamos los parámetros α y ω mediante máxima verosimiltud; es decir, maximizando la función

l(α, ω) = ∑_{i=2}^{n}cos [θ_{t} − α − 2tan^{−1} \{ωtan\frac{1}{2}(θ_{t−1} − α)\}]

La maximización la haremos usando la función nlm de R pero minimizando la función −l_{C}(α, ω) para numerosos conjuntos de datos.

Una vez que l(α, ω) ha sido máximizada con respecto a α y ω, una aproximación mediante verosimilitud puede ser usada para obtener una estimación mediante máxima verosimilitud de κ, maximizando

l_{C}(α̂, ω̂, κ) = const. − (n − 1)logI_{0}κ + κl_{α̂,ω̂}

respecto de κ.

Datos Direccionales. Aplicación

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

Datos perturbados Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

6 Bibliografía

Notemos que vamos a utilizar los datos de dirección de viento de la estación meteorologica A Mourela para llevar a cabo

1 análisis descriptivo circular

2 estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad 3 estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

Utilizaremos la dirección de viento y las concentraciones de SO_{2}; ambas medidas tomadas en cada una de las estaciones de inmisión B1, B2, C9, F2, G2 para realizar la estimación no paramértica tipo núcleo de la regresión circular-lineal.

Notemos que tanto la estación metereológica a Mourela como las estaciones de inmisión pertenecen a la Red de Vigilancia de la U.P.T. de As Pontes (Endesa S.A.) Todas las estaciones recogen datos minutales pero trabajaremos con las medias horarias con el objetivo de reducir la cantidad de datos. Aunque a la hora de presentar los resultados de los datos horarios de viento nos seguimos encontrando con una gran cantidad de datos, 8360. Luego, para que los gráficos sean más fáciles de visualizar hemos dividido el año 2010 en cuatro periodos de 2090 datos cada uno.

Datos Direccionales.

Aplicación Datos perturbados

Al analizar los datos obtenidos en las estaciones se observó que había valores repetidos tanto en la dirección de viento como en las concentraciones de SO_{2}. La aparición de medidas repetidas va a ser un problema a la hora de implementar ciertas técnicas, como la validación-cruzada para escoger el parámetro de suavizado. Con el fin de solucionar dicho problema, haremos una perturbación en las variables.

Caso lineal:Azzalini (1981) propone una perturbación que permite una estimación consistente de la función de distribución

X̃_{i} = X_{i} + bϵ_{i}, ϵ_{i} ∼ Epanech(−\sqrt{5}, \sqrt{5})

b = 1.03σ̂n^{−1/3}

Caso circular:E. Garcia-Portugués et al. (2011)

θ̃_{i} = θ_{i} + dϵ_{i}, ϵ_{i} ∼ M(0, 1)
b = n^{−1/5}

Datos Direccionales.

Aplicación Análisis de los datos de dirección de viento en A Mourela

n Media direccional Media de longitud

resultante

Primer periodo 2090  5.3634  0.2177
Segundo periodo 2090  0.6446  0.2850
Tercer periodo 2090  0.2134  0.1750
Cuarto periodo 2090  5.7374  0.2952

Cuadro: Estudio de los datos de dirección de viento 2010 mediante una medida de localización (media direccional) y una medida de dispersión (media de longitud resultante)

Figura: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del primer periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del primer periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del primer periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del segundo periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del tercer periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del tercer periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión de los datos de dirección de viento del cuarto periodo de 2010 Figura: Gráfico de dispersión circular y rosa de los vientos de los datos de dirección de viento del cuarto periodo de 2010

Datos Direccionales.

Aplicación Estimación tipo núcleo de la función de densidad circular

L2  KL plug-in
Primer periodo 28.56 26.20 3.10
Segundo periodo 63.57 77.17 4.87
Tercer periodo 41.44 36.17 2.17
Cuarto periodo 35.56 34.31 5.16

Cuadro: Estimaciones del parámetro de suavizado para la función de densidad circular

Figura: Estimación plug-in de la densidad del primer periodo de 2010 Figura: Estimación plug-in de la densidad del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación plug-in de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación plug-in de la densidad del cuarto periodo de 2010 Figura: Validación cruzada del primer periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del primer periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del primer periodo de 2010 Figura: Validación cruzada del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del segundo periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del segundo periodo de 2010 Figura: Validación cruzada del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del tercer periodo de 2010 Figura: Validación cruzada del cuarto periodo de 2010 Figura: Estimación L2 de la densidad del cuarto periodo de 2010 Figura: Estimación KL de la densidad del cuarto periodo de 2010

Datos Direccionales.

Aplicación Estimación tipo núcleo de la función de regresión circular-lineal

B1  B2  C9  F2  G2
Primer periodo 3.33 2.87 30.28 37.69 26.42
Segundo periodo 13.07 8.83 7.07 10.73 20.13
Tercer periodo 6.61 25.56 2.33 11.97 18.43
Cuarto periodo 0.00 22.63 4.87 11.24 17.74

Cuadro: Estimaciones del parámetro de suavizado obtenidas mediante validación cruzada

B1  B2  C9  F2  G2
Primer periodo 0.0049 0.0069 0.0074 0.0072 0.0071
Segundo periodo 0.0088 0.0081 0.0097 0.0037 0.0075
Tercer periodo 0.0078 0.0080 0.0087 0.0030 0.0061
Cuarto periodo 0.0045 0.0071 0.0068 0.0062 0.0056

Cuadro: Estimaciones del parámetro de suavizado obtenidas mediante la expresión κ = 1/h_{s}^{2} Figura: Validación cruzada en la estación B1 Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en B1. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en B1. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación B2 Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en B2. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en B2. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación C9 Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en C9. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en C9. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación F2 Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en F2. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en F2. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Figura: Validación cruzada en la estación G2 Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en G2. Estimación del parámetro de suavizado mediante validación cruzada.

Figura: Estimación de la función de regresión circular-lineal en G2. Estimación del parámetro de suavizado mediante 1/h_{s}^{2}.

Datos Direccionales.

Aplicación Estimación del modelo de Möbius de series de tiempo

α  ω  κ
Primer periodo -0.7492 0.9634 4.12
Segundo periodo 0.5133 0.9296 4.09
Tercer periodo -0.1431 0.9644 4.11
Cuarto periodo -1.3190 0.9382 4.11

Cuadro: Estimaciones de los parámetros que están involucrados en la otención del modelo de Möbius de series de tiempo

Figura: Autocorrelaciones circulares para dirección de viento del primer periodo de 2010 Figura: Representación de la serie de tiempo de la dirección del viento del primer periodo de 2010 frente a sus retardos.

Figura: Serie de tiempo de la dirección de viento del primer periodo de Figura: Autocorrelaciones circulares para dirección de viento del segundo periodo de 2010 Figura: Representación de la serie de tiempo de la dirección del viento del segundo periodo de 2010 frente a sus retardos.

Figura: Serie de tiempo de la dirección de viento del segundo periodo de Figura: Autocorrelaciones circulares para dirección de viento del tercer periodo de 2010 Figura: Representación de la serie de tiempo de la dirección del viento del tercer periodo de 2010 frente a sus retardos.

Figura: Serie de tiempo de la dirección de viento del tercer periodo de Figura: Autocorrelaciones circulares para dirección de viento del cuarto periodo de 2010 Figura: Representación de la serie de tiempo de la dirección del viento del cuarto periodo de 2010 frente a sus retardos.

Figura: Serie de tiempo de la dirección de viento del cuarto periodo de

Datos Direccionales. Bibliografía

1 Introducción
2 Función de densidad circular

Estimación no paramétrica tipo núcleo de la densidad circular Selección del parámetro de suavizado. Plug-in Selección del parámetro de suavizado.Validación cruzada

3 Función de regresión circular-lineal.

Selección del parámetro de suavizado

4 El modelo de Möbius de series de tiempo

Estimación de los parámetros. Máxima verosimilitud

5 Aplicación

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6 Bibliografía

Datos Direccionales. Referencias

[1] A. Azzalini. A note on the estimation of a distribution function and quantiles by a kernel method. Biometrika, 68:326–328, 1981.

[2] Panzera A. Di Marzio, M. and C.C. Taylor. Local polynomial regression for circular predictors. Statistics and Probability Letters, 79:2066–2075, 2009.

[3] T. D. Downs and K. V. Mardia. Circular regression.

Biometrika, 89:683–698, 2002.

[4] Crujeiras R.M. González Manteiga W. García Portugués, E. Exploring with direction and so2 concentration by circular-linear density estimation. Technical report, Universidade de Santiago de Compostela, Departamento de Estatística e Investigación Operativa., 2011.

[5] X. Haiyong and F. P. Schoenberg. Kernel regression of directional data with application to wind and wildfire data in los angeles country, california. Department of Statistics, University of California, Los Angeles, CA 90095-1554, USA.

[6] Watson G.S. Hall, P. and J. Cabrera. Kernel density estimation whith spherical data. Biometrika, 74:751–762, 1987.

[7] G. Hughes. Multivariate and Times Series Models for Circular Data with Applications to Protein Conformational Angles. PhD thesis, The University of Leeds, Department of Statistics., 2007.

[8] K.V. Mardia and P.E Jupp. Directional Statistics. Wiley; New York, 2000.

[9] C.C. Taylor. Automatic bandwith selection for circular density estimation. Computational Statistics and Data Analysis, 52:3493–3500, 2008.

Datos Direccionales.

Proyecto Fin de Máster.

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